Тема урока: «Периодичность тригонометрических функций y = sinx, y = cosx»

Тема урока: «Периодичность тригонометрических функций y = sinx, y = cosx».

Цель урока: продолжение формирования представления о тригонометрических функций и способах решения упражнений на периодические функции.

В результате чего уч-ся должны четко представлять о том, что функции sinx и cosx имеют наименьший период, равный 2п и уметь находить периоды различных функций sin и cos другого аргумента.
Задачи:
Личностные - способствовать формированию методов познания научной картины мира (анализ, синтез, аналогии, сравнения, выбор), самостоятельности при решении упражнений (выполнении заданий).
Метапредметные – развивать познавательный интерес через, создание проблемных ситуаций (понятие периода в жизни и в математике), умение выделять главное, формировать умение классифицировать (анализ, сравнение, аналогия, чертежные навыки).
Предметные – знать определение периодической функции, периода;
уметь строить график периодической функции по ее частям.
Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Этап урока	Задачи учителя	Задачи учащихся	Время урока	Показатели выполнения задач
1.Организационный	Проверка технического оснащения и готовности класса к уроку	Проверяют готовность к уроку и наличие предметов необходимых на уроке	1 мин.	Отмечает отсутствующих на уроке
2.Сообщение темы, цели, задач и мотивации учебной деятельности урока	Мотивация учащихся на освоение нового материала	Высказывают предположения по определению критериев оценки	3 мин.	Сообщает тему и цель урока. Указывает формы работы на уроке. Фиксирует предложения учащихся. Фронтальная работа с классом с использованием проектора.
3.Подготовка к изучению нового материала через построение и актуализацию опорных знаний	Подготовка к изучению нового материала	Вспоминают и формулируют теоретический материал по теме: «тригонометрические функции». Какие функции называются тригонометрическими.	5 мин.	Консультирует и направляет фронтальную работу
4.Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения	Формирование навыков и отработка способов нахождения периода функций и построение графиков	Выполняют упражнения из учебника. Выполняют самостоятельную работу. Проверяют результат работы (ответы выведены на экран)	15 мин.	Наблюдает, индивидуально консультирует и предлагает выполнить самопроверку (показывает решение на экране)
5.Постановка задания на дом и инструктаж по его выполнении	Сообщить о домашнем задании	Выполняют запись домашнего задания, слушая к нему комментарии учителя	2 мин.
6.Рефлексия, подведение итогов урока	Разграничение области точных знаний и незнаний учащихся	14 мин.

Ход урока:

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1)Организационный	Здоровается, настраивает учащихся на учебную деятельность	Усаживаются и готовятся к уроку
2) Сообщение темы, цели, задач и мотивации учебной деятельности урока	Дает задание определить значение функций предложенных на слайде: cosп/3, sin0, tgп/6, ctg(-п/4), sinп, cosп/2, ctgп/3.	Ответы - устные ?; 0; 1/3: -1; 0; 0; 1/3
3) Подготовка к изучению нового материала через повторение	При каких значениях t tgt и ctgt не существуют (задания предложены на слайдах)	Выполняют задания в тетради: tg - п/2 и 3/2п; ctg - 0 и п.
4) Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения	Проводится блиц – опрос: Найдите значения синуса и косинуса А, если А равно: 4п, - п; 2. 5/2п, -5,5п; 3. п, -2п; 4. 9/2п, -3/2п. Какая функция является периодической? F(x+T) = F(X) = F(X – T) Что такое период? Где встречаемся с периодичностью в технике? Какие из представленных функций и их графиков являются (на слайдах) периодическими? Y = kx +b, y = kxn, y = sinx, y = cosx, y = |x|. Как построить графики функций? Y = sinx, y = cosx, не перечисляя всех точек? Обратить внимание на число периодов у периодической функции. Где в жизни вы встречаетесь с построением повторяющихся элементов? На слайдах изображены части графиков некоторых периодических функций. Определите период функций. Для периодической функции y = f(x) на (-1;1), длина которого равна периоду. Построить график функции: а) на (1;3), б) на (-3;1), в) на (3;7. Преобразовать заданное выражение (sint или cost) к виду Sint или cost, чтобы выполнялось соотношение t Е(0; 2п) и найти его значение. Изучите по учебнику (стр. 36) общее утверждение: если функция f периодическая и имеет наименьший положительный период Т, то функция Аf(кх + b), где А, к, b постоянные, а к не равно 0, также периодична, причем период ее наименьший положительный и равен Т/|к| а) Т=4п; б) Т=2п/3; в) Т=4.2.п/5; г)Т=3п. Дополнительное задание: доказать тождество: Sin2(x-8п) = 1- cos2(16п –x)	Выделяют определенное значение аргумента, которое можно «отбросить» (2п). sinА – 1. 0, 0; 2. … 3. … 4. …. cosА – 1. 1, -1; 2. … 3… 4 …. Находят ответ в учебнике и записывают в тетрадь. Ответы учащиеся поясняют определениями. Музыка, время радиационные процессы, таблица Менделеева, работа двигателя внутреннего сгорания; игла швейной машины, миграции животных, математические дроби, группы цифр и т. д. Y = cosx, y = sinx. Т. к. sin(x-2п ) = sinx = sin(x+2п ), Cos(x – 2п ) = cosx = cos(x+2п ), то функции являются периодическими и число 2п служит периодом. Построить волну (о; 2п) или (-п; п), а затем сдвинуть график по оси Х на 2п вправо, на 2п влево, и т. д. В итоге с помощью одной волны можно построить весь график. Самостоятельная работа по учебнику: стр.34-35 и записывают в тетрадь: nT – период; n = 3 f(x + 3) = f(x + 2T) + T = f(x + 2T = f((x +T) + T) = f(x + T) = f(x) Наименьший положительный период функций y = sinx x и y = cosx равен 2п. Элементы орнаментов ковров, зданий, в народном творчестве… Тетрадь, учебник стр.69. Т = 2, Т = 2, Т = 4, Т = 8. После выполнения заданий, проверяют построенные графики с изображением на слайдах. Задание выполняют и проверяют по слайдам (sin11п/3 , cos9п/2 ,sin3900, cos6400, sin50,5п. Cos2(-x) = cos2x Sin2x = 1- cos2x Sin2x + cos2x = 1, 1 = 1.
5) Постановка задания на дом и инструктаж по его выполнению	Дает учащимся творческие задания по выбору: 1.Сделать карточку с заданием на периодическую функцию; 2. Написать сообщение о применении периодической функции в природе, технике, спорте, быту.	Записывают домашнее задание: Стр. 33-35 (П-4.2) №№ 62-64. По желанию №68.
6. Рефлексия, подведение итогов урока	Подводит итоги по решению задач (самостоятельно) по выбору из учебника (2-3 задания)	Самостоятельно выбирают задания из учебника и решают в тетрадях. Тетради сдают на проверку.

Приложение к 4 этапу урока.

К числу самых распространенных движений в природе относятся повторяющиеся движения. На пример: движение Земли вокруг своей оси и ее обращение вокруг Солнца, смена времен года, вращение стрелок часов, биение сердца человека, морские приливы и отливы, работа двигателей, переменный электрический ток и т. д. Колебания широко используются в различных технических механизмах. Приходиться учитывать их вредное влияние.
Статистика показывает, что около 80% поломок и аварий в машиностроении является результатом недопустимых колебаний. Смертельной опасностью для самолетов был «Флаттер», при котором при непредвиденной скорости самолет, начинало трясти и он, разваливался в воздухе. Приходиться учитывать возникновение колебаний при строительстве мостов и высотных сооружений. Циклы движения в одних случаях повторяются без изменения, в течение строго определенного времени (маятниковые часы), а в других случаях значительно отличаются друг от друга. Точно повторяющиеся движения, называют периодическими.

Приложение к 6 этапу урока.

В живом организме органы, ткани, клетки работают ритмично. Нарушение ритма – признак нарушения жизнедеятельности организма. Схема ритмов многоярусна. Более сложные – тканевые ритмы служат основой для ритмичной деятельности органов, а они обслуживают ритмичность организма в целом. Обитатели Земли миллионы лет приспосабливались к ее вращению вокруг своей оси и обращению ее вокруг Солнца. День сменяет ночь, бодрствование сменяет сон, прием пищи. Подъем и спад работоспособности определяются движением Земли. Каждый организм подчиняется сезонной периодичности. Солнце также диктует свои законы. Рост дерева изменяется в зависимости от состава и интенсивности Солнечного излучения, а оно изменяется с периодом в 11 лет. Наиболее широкие кольца в поперечном разрезе дерева повторяются через каждые 10 лет.
В результате приливов и отливов, вызванных Луной, дважды в сутки вздымается поверхность Земли. В зависимости от координат местности постройки городов поднимаются на несколько десятков сантиметров (два раза в сутки). Многие цветы закрывают венчики с наступлением темноты. У большинства животных наблюдается периодичность появления потомства. Сердце –  пример колебательной системы. Работу сердца можно наблюдать на графике электрокардиограммы. Все периодические процессы можно описать с помощью тригонометрических функций и изобразить эти процессы на графиках. По графикам можно определить отклонения в протекании процессов природы и предпринять необходимые меры. (Обобщение ведется в диалоговом режиме.)

Итоги: Природа подчиняется одним и тем же законам диалектического развития, а, следовательно, понимание данных законов помогает решать как практические, так и теоретические задачи.