7 класс

7 класс

Знайка пришел в гости к братьям – близнецам Винтику и Шпунтику. Зная, что один из них никогда не говорит правду, Знайка спросил одного из них: «Ты Винтик?» - «Да», - ответил тот. Когда Знайка спросил об этом же второго, то получил столь же четкий ответ и сразу определил, кто есть, кто. Кого из двоих звали Винтиком?

Решение: В решении важно было заметить, что один из братьев никогда не говорит правду. А про другого вообще ничего не сказано, значит он может говорить правду, а может и лгать. Второе, что Знайка смог определить, кто есть кто, а это значит, что ответы были разными. Следовательно, если первый вопрос был задан Винтику, а второй – Шпунтику, тогда они оба сказали правду, а это противоречит условию, что один всегда говорит неправду. Если первый вопрос задан Шпунтику, а второй – Винтику, то тогда они оба солгали, что вполне может быть. Тогда Винтик второй.

Сколько имеется двузначных чисел, в записи которых не участвуют цифры 1 и 7?

Решение: Первую цифру двузначного числа можно выбрать 7 способами (все кроме 1,7 и 0), вторую цифру можно выбрать 8 способами (все кроме 1 и 7), тогда общее число двузначных чисел равно 7*8=56

Решите уравнение в натуральных числах

Решение: Ясно, что m, n?2, т. е. . Если при этом какая-нибудь  из неизвестных больше двух, например, n>2, то тогда 1/n<1/2 и сумма 1/m + 1/n  меньше единицы. Значит обе неизвестные не больше двух, т. е. остается только возможность m=n=2.

ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK и BM, так что угол КСМ равен 1350. Какой длины отрезки AK и BM

8 класс

Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. На следствии каждый из них сделал по два заявления:

Браун: Я не делал этого;

       Джонс не делал этого.

Джонс: Браун не делал этого;

       Смит сделал это.

Смит: Я не делал этого;

       Браун сделал это.

Было установлено, что один из них дважды солгал, другой – один раз солгал, один раз сказал правду, третий – дважды сказал правду. Кто совершил преступление?

Решение: Предположим, что преступник – Браун. Тогда Браун солгал 1 раз, Джонс – 2 раза, Смит – дважды сказал правду. Условия выполнены, так что Браун может быть преступником. Но необходимо проверять все случаи, возможно и при других предположениях условия задачи будут соблюдены. Итак, предположим, что преступник – Джонс. Тогда Браун солгал 1 раз, Джонс солгал тоже 1 раз – условие задачи нарушено. Значит предположение, что Джонс преступник неверно. Если Смит – преступник, тогда Браун и Джонс дважды сказали правду – условие задачи нарушено. Следовательно преступление совершил – Браун.

На окружности отмечено 20 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках?

Решение: В данном случае мы имеем дело с выбором 3 точек из 20 имеющихся, т. е. это число сочетаний 3 из 20, при этом не важен порядок выбора и тогда

Решите уравнение в натуральных числах  k2 – n2 =119

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители (k+n)(k-n)=119. Так как 119=7*17, то будем иметь две возможности: систему  k-n=1  и k+n=119 и вторую систему k-n=7 и k+n=17. Решая эти системы получим в первом случае k=60, n=59 и во втором случае  k=12, n=5

В произвольном треугольнике АВС проведены медианы АА1 и ВВ1 , пересекающиеся в точке О и отрезок А1К, параллельный ВВ1. Пусть В1К=КС=а, АВ1 =2а. Найдите в каком отношении медиана ВВ1 делит медиану АА1 считая от вершины.

Решение:

9 класс

В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжет, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало девять пустоземцев, и один из них сказал, указав на соседа слева: «Он хоббит». Сосед сказал: «Мой правый сосед солгал». В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же повторил следующий по кругу, и так они говорили: «Мой правый сосед солгал» много-много кругов. Определите, из каких племен были пирующие?

Решение: Предположим, что первый сказал правду, а его сосед слева говорит «мой правый сосед солгал» то он сам лжет. Точно также, если кто то лжет, то его сосед слева говорит: «Мой правый сосед солгал» говорит правду. Значит, говорящие правду и говорящие ложь чередуются. В нашем случае за столом находится 9 пирующих, т. е. нечетное количество. Следовательно, на втором круге, те, кто говорил правду, будут лгать и наоборот. Из этого следует, что пирующие пустоземцы  могут быть только хоббитами.

В колоде 36 карт. Сколько существует способов взять из них 10 карт так, чтобы среди них оказался точно один туз?

Решение: Всего имеется   способов взять 10 карт из колоды, а нам необходимо определить, сколько их этих способов таких, в которых взят точно один туз. Следовательно, мы должны подсчитать все способы выбора 9 карт из 32, т. е без тузов и 1 туза из четырех. Тогда общее число таких способов выбора будет равно произведению

Решите уравнение в натуральных числах k2 -2n =1

Решение: Перепишем уравнение в виде k2 -1=2n, далее (k-1)(k+1)=2n, так как любое разложение числа 2n на два множителя имеет вид 2p *2q, то получим систему уравнений k-1=2p, k+1=2q, n=p+q. Вычитая из второго уравнения первое получаем  2p - 2q =2. Решить можно двумя способами, мы рассмотрим один. Рассмотрим последовательность степеней двойки, т. е. 1,2,4,8,16,32…. Очевидно, что разность может равняться 2 лишь в одном случае: 4-2=2, откуда q=2, p=1. Вернемся к первой системе уравнений k-1=2, k+1=4, решив которую получим k=3, n=3

Применяя теорему косинусов,  найдите длину медианы ma треугольника со сторонами a, b, c.

Решение: (рисунок не проблема) По теореме косинусов ma2 = (a/2)2 + c2 -2*(a/2)*c*cos?, отсюда выразим cos? через стороны всего треугольника, если b2 =a2 +c2 -2ac*cos?, то –ас*cos?=, подставим это значение в первую формулу и получим ma2 = (a/2)2 + c2 + = и тогда ma=

10 класс

Шесть футбольных команд набрали в турнире 12, 10, 9, 8,7 и 6 очков. Сколько очков начислялось за победу в матче, если за ничью начислялось 1 очко, а за поражение 0 очков?

Решение: Все шесть команд в турнире набрали 12+10+9+8+7+6 = 52 очка и сыграли между собой 15 матчей.  Пусть х количество результативных матчей и у – количество матчей, сыгранных вничью. Если количество очков начисляемых за победу обозначим за k, а за ничью начисляется 2 очка, то можно составить систему , умножим второе уравнение на 2 и вычтем из первого уравнения, получим kx-2x=22 или (k-2)х=22, так как 22=2*11, а количество результативных матчей явно более 2, то получается k-2=2 и х=11, откуда k=4

Сколькими способами можно расставить комплект шашек на доске? (комплект состоит из 12 белых и 12 черных шашек, доска 8 х 8, шашки могут находиться только на черных полях?

Решение: Всего клеток на доске 8*8=64, так как шашки необходимо расставить только на черных клетках, а их у нас 32, следовательно, белые шашки мы можем расставить тогда черные мы можем расставить на оставшиеся 20 клеток, т. е способами, и тогда общее количество способов равно *

Решите уравнение 1+2х-3ах2 =0 при каждом значении параметра а.

Решение: Рассмотрим два случая: 1 случай а?0 и 2 случай а=0. Начнем со 2 случая, при а=0 получаем линейное уравнение 1+2х=0, откуда х=-1/2. Во втором случае получаем квадратное уравнение -3ах2+2х+1=0, дискриминант равен D/4=1+3а, и тогда необходимо рассмотреть 3 известных случая:

при а< -1/3, решений нет;

при а> -1/3 х1/2 = ;

при а= -1/3 х=-1. Итого получилось 4 корня.

В треугольнике АВС со сторонами a, b, c на стороне ВС взята точка D, так что BD=m и DC=n.  Используя теорему косинусов выразите длину k секущей AD через a, b, c, m, n.

Решение: По теореме косинусов k2 = m2 + c2 -2mc*cos? и  b2 =a2 +c2 -2ac*cos?. Умножим первое уравнение на а, второе на m и вычтем k2а - b2m =(m2 + c2)a – (a2 +c2)m  отсюда k2а = b2m + m2а + c2a – a2m - c2m  = b2m + mа(m-a) + c2 (a – m)= b2m + c2n – amn и отсюда выражаем k=