ДВУХМЕРНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ФОРМЕ ОГРАНИЧЕННОГО ЦИЛИНДРА
Кужиманов Еркебулан Жоламанулы
Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г. Томск
Научный руководитель – , к. т.н., доцент НИТПУ
Рассмотрим образец в форме ограниченного цилиндра с радиусом - R и высотой - H, который нагревается лучистым потоком сверху и излучает со всех сторон в среду постоянной температурой (рис. 1). Образец находится внутри вакуумной камеры, стенки которой имеют постоянную температуру окружающей среды 
Рис. 1. Схема распределения тепловых потоков при нагреве и охлаждении
Тогда математическая постановка двумерной стационарной задачи теплопроводности для ограниченного цилиндра примет вид:
(1.3)
где, Т(r, z) – температура образца;
постоянная Стефана – Больцмана; r, z – координаты;
плотность падающего теплового потока; 
- приведенная степень черноты; 
- коэффициент теплопроводности.
Выбор рационального метода решения прямой задачи в значительной мере зависит на эффективность решения обратной задачи. Получение точного аналитического решения задачи из-за нелинейности в граничных условиях (нелинейность второго рода) не представляется возможным. Следовательно, для решения задачи необходимо привлекать численные методы (метод конечных разностей, метод конечных элементов и др.), с помощью которых можно получить таблицу приближенных значений. Для решения поставленных задач был выбран метод конечных разностей. При составлений конечно-разностных уравнений, использовались два разных метода: метод элементарных балансов и метод, основанный на разложений искомой функций в ряд Тейлора в окрестности узловых точек. В методе одновременных смещений замена значений всех переменных производится одновременно. В методе последовательных смещений замена значений уточненные значения переменных, вычисленные в какой-либо точке, сразу же используются при вычислении значения переменной в последующих точках.
а) для метода одновременных смещений (метод просто итераций) [2]:
б) для метода последовательных смещений [2]:
где n – номер итераций; i, j – индексы, определяющие положение узла в вычислительной сетке; 
– данное значение температуры; 
– новое значение температуры, рассчитанное данным методом; 
– функций изменения температуры в узловой точке; 
– производные функций изменения температуры в узловой точке. Схема сеточной области для ограниченного цилиндра показана на рис.2.
Рис. 2. Схема сеточной области
Решение полученных нелинейных систем конечно-разностных уравнений осуществлялось итерационными методами. Нелинейные уравнения для всех точек были преобразованы с использованием формулы Ньютона - Рафсона, относительно искомых температур согласна формуле метода одновременных смещений. Используя уравнение (1.1 – 1.5) и уравнение тепловых балансов для сеточной области ограниченного цилиндра, при нагреве поверхности образца постоянным тепловым потоком плотностью
, получим следующие конечно – разностные уравнения, которые применялись при составлении программы расчета температурного поля на ЭВМ:
Все расчеты значений температур в узловых точках проводились до тех пор, пока разность температур для каждой точки не оставалась меньше 0,01 К. Блок – схема решения прямой задачи приведены на рис.3.
Рис. 3. Блок – схема решения прямой задачи
При использовании в программе конечно – разностных уравнений, полученных методом элементарных балансов, вычислительный эксперимент проводился при следующих значениях геометрических и физических параметров: размеры R=0.01 и L=0.01 м; коэффициент теплопроводности 
и плотность падающего теплового потока 
.
Таблица 2.1
Результаты по тепловому балансу
Метод решения | Число узлов | Входящий поток, Q1 | Суммарный уходящий поток, Q2 | Процент погрешности по тепловому потоку,% |
Одновременных смещений | 5х5 | 2.40 | 2,398 | 0,67 |
9х9 | 2.768 | 2.765 | 0,11 | |
17х17 | 2.95 | 2.86 | 3 | |
Последовательных смещений | 5х5 | 2,40 | 2,396 | 0,57 |
9х9 | 2,76 | 2,76 | 0,67 | |
17х17 | 2,95 | 2,92 | 0,85 |
Таблица 2.2
Результаты расчета температур в зависимости от количества узлов
Метод решения | Число узлов | Значение температурного поля в сеточных узлах | Количество итераций | |
|
| |||
Одновременное смещение | 5х5 | 531,13 | 526 | 252 |
9х9 | 530,33 | 525,44 | 800 | |
17х17 | 526,68 | 521,93 | 2374 | |
Последовательных смещений | 5х5 | 531,23 | 526,44 | 172 |
9х9 | 530,81 | 525,91 | 502 | |
17х17 | 528,91 | 524,08 | 1468 |
Вывод: Составлена программа определение температурного поля и тепловых балансов. В дальнейшем результаты вычислительного эксперимента, полученные при решении прямой задачи, можно использовать при разработке алгоритма и составлений программы решения обратной задачи по определению коэффициента теплопроводности.
Список литературы
1. Мак- исленные метoды и прoграммирование на ФOРТРАНЕ. – М.: Мир, 1977. – 584 с.
2. , , Методы определения теплопроводности конденсированных сред. - Томск: Томский политехнический университет, 2009. – 184 с.
3. Прикладные численные методы в физике и технике. – М.: Высшая школа, 1990 – 255 с.
