Занятие по теме "Площадь криволинейной трапеции и интеграл. Вычисление площадей с помощью интеграла"
, преподаватель математики.
«Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть… при помощи названной науки». .
Тип занятия: обобщение материала, работа в группах.
Цель занятия: обобщить знания по теме «Площадь криволинейной трапеции», систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме.
Задачи:
-общеобразовательные: способствовать развитию умения обобщать, классифицировать, работать по алгоритму, находить свои пути решения, делать определенные выводы.
-развивающие: побуждать к самоконтролю, развивать познавательную активность, создавать условия для развития мыслительных операций обобщения, применения алгоритмов решения задач при добавленных условиях.
- воспитательные: воспитывать коллективизм, внимательное отношение друг к другу.
Тип занятия: интегрированное.
Формы, применяемые на занятии: устная работа, работа в группах, самостоятельная работа.
Используемые технологии: личностно-ориентированные, диалоговые, технология сотрудничества.
Хронометраж занятия.
№ п/п | Содержание занятия | Время (мин.) |
1. | Организационный момент | 3 мин. |
2. | Проверка домашнего задания | 7 мин. |
3. | Индивидуальный опрос (у доски по карточкам) | 15 мин. |
4. | Решение задач | 20 мин. |
5. | Устная работа | 10 мин. |
6. | Самостоятельная работа в группах | 25 мин. |
7. | Итог занятия | 3 мин. |
8. | Домашнее задание | 7 мин. |
Ход урока
1. Организационный момент
2. Проверка домашней работы
Историческая справка. (Выступление «Из истории возникновения знака интеграла») Символ 
введен Г. Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы «S» (первой буквы слова «сумма»). Само слово «интеграл» придумал в 1690 г. Я. Бернулли. Вероятно, оно происходит от латинского «integero», которое переводится как «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой была получена подынтегральная функция. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли, и с 1696 г. появилось название новой ветви математики –«интегральное исчисление». Понятие «неопределенный интеграл» выделил Г. Лейбниц, а «определенный интеграл» ввел К. Фурье. Связь операций дифференцирования и интегрирования независимо друг от друга установили И. Ньютон и Г. Лейбниц».
3. Индивидуальный опрос у доски по карточкам
К1
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х2, у=х -2,у=0 | К2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у= х2 -2 , у=х | К3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 - х2, у =х2 - 2х |
4.Решение задач у доски совместно с преподавателем.
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 
, x=-1, x=2 и осью OX.
Решение: данная фигура представляет собой криволинейную трапецию, поэтому её площадь вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
|
Ответ: 6 кв. ед. |
Пусть y=f(x) – непрерывная функция при x
[a, b], график которой расположен ниже оси OX (рис. 2). Значение определённого интеграла будет отрицательным, поэтому для расчёта площади берём значение интеграла по модулю.
|
|
(2)Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции 
и осью OX.
Решение: данная фигура (рис. 3) расположена ниже оси OX, поэтому применим формулу (2).
| Ответ: 1/6 кв. ед. |
Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций 
и 
.
Решение: данная фигура (рис. 4)представляет собой разность криволинейных трапеций
Абсциссы точек пересечения находим по чертежу: x1=-2 и x2=1.
. Можно записать под один интеграл:
|
Ответ: 4,5 кв. ед. |
Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций 
и 
, и координатными осями.
Решение: данная фигура (рис. 5) представляет собой сумму криволинейных трапеций S=S1+S2, где 
и 
. Получим формулу:
|
Ответ: |
кв. ед.
5. Устная работа
Задание 1. Запишите формулы для вычисления площади заштрихованных фигур изображенных на рисунке.
|
Задание 2. Указать соответствие:
Функция | Первообразная |
1) f(x) = 5 2) f(x) = 0 3) f(x) = ... 4) f(x) = xm (m 5) f(x) = 25x3+ | F(x) =5x F(x) = .. F(x) = - cos x+c F(x) = ... F(x) = ... |
-1)
6. Работа в группах
Задание 1 группы. Вычислите площадь заштрихованной фигуры.
Задание 2 группы. Вычислите площадь заштрихованной фигуры
Задание 3 группы. Вычислите площадь заштрихованной фигуры
Задание 4 группы. Вычислите площадь заштрихованной фигуры
Задание 5 группы. Вычислите площадь заштрихованной фигуры
7. Итог урока
Большинство из Вас справились с работой хорошо. Они получают оценки.
8. Задание на дом.
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=x2+2, g(x)=4-x
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7
Дополнительное задание.
Выберите формулу площади заштрихованной фигуры: | А. Б. В. |
| Составьте формулу для вычисления площади изображённой фигуры |
|
Основные источники:
. Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. – М.: Просвещение, 2008 г. и др. Геометрия, 10-11классы. – М.: Просвещение, 2011. . Алгебра и начала анализа, 10-11 классы – Мнемозина 2011.Дополнительные источники:
Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя/, . – 2-е изд.– М.: Просвещение, 2003. – 222 с.: ил. Изучение алгебры и начал анализа в 10-11 классах: Кн. для учителя / , . – 2-е изд.– М.: Просвещение, 2004. – 205 с.: ил. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений / – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 375 с.: ил. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений / , , ; Под ред. . – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.: ил.Интернет-ресурсы:
http://www. exponenta. ru/educat/links/l_educ. asp#0 – Полезные ссылки на сайты математической и образовательной направленности: Учебные материалы, тесты http://www. fxyz. ru/ - Интерактивный справочник формул и сведения по алгебре, тригонометрии, геометрии, физике. http://maths. yfa1.ru - Справочник содержит материал по математике (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия). allmatematika. ru - Основные формулы по алгебре и геометрии: тождественные преобразования, прогрессии, производная, стереометрия и проч. http://mathsun. ru/ – История математики. Биографии великих математиков.