Планиметрические задачи на ОГЭ

ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ОГЭ

Каждый вариант части 2 контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике  содержит три геометрические задачи. Включение этих задач в экзаменационные материалы направлено на проверку таких качеств геометрической подготовки учащихся как:

умение решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания курса геометрии;  умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;  владение широким спектром приемов и способов рассуждений.

Одна из предлагаемых задач является задачей на доказательство, решение которой должно продемонстрировать, что учащийся умеет

проводить доказательные рассуждения при решении задач; оценивать логическую правильность рассуждений; распознавать ошибочные заключения.

Еще две задачи предполагают использование при решении как доказательных рассуждений, так и умения проводить вычисления числовых характеристик геометрических фигур.

При решении каждой конкретной задачи нужно уметь применять 2-3 факта из следующего перечня:

теорема Пифагора; теорема косинусов; формулы площади треугольника (через сторону и высоту, через две стороны и угол между ними, формула Герона, через полупериметр и радиус вписанной окружности, через стороны и радиус описанной окружности); признаки равенства и подобия треугольников и следующие из них соотношения между сторонами и углами; определения  синуса, косинуса, тангенса угла прямоугольного треугольника и следующие из них соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника; свойство точки пересечения медиан треугольника; свойство биссектрисы треугольника (о делении стороны на части, пропорциональные сторонам); обобщённую теорему синусов; свойства равнобедренного треугольника; свойства средней линии треугольника и трапеции; свойства диагоналей ромба и прямоугольника; формулы для вычисления периметра, площади, радиусов вписанной и описанной окружностей по трём сторонам; свойство медианы и высоты прямоугольного треугольника, проведённых из вершины прямого угла; свойство пересекающихся хорд окружности; свойства центрального и вписанного углов; свойства вписанного и описанного треугольников и др.

Приведём примеры решения задач и дадим комментарии к их решению.

Задача 1.В треугольнике АВС проведена медиана ВВ1. На луче ВВ1 взята точка E так, что В1E = ВВ1. Докажите, что EА = ВС, EС = ВА.

Решение.

1. По условию  ВВ1 медиана, следовательно,  АВ1= В1С.

2. По условию В1E = ВВ1.

3. В четырехугольнике АВСE диагонали АС и ВE  в точке пересечения делятся пополам, следовательно,  АВСE - параллелограмм, откуда следует, что

EА = ВС, EС = ВА.

Примечание. При решении задачи были использованы:

1) определение медианы треугольника; 2) свойства параллелограмма.

Задача2. Докажите, что любые две медианы равностороннего треугольника пересекаются под углом 600.

Решение.

1. В равностороннем треугольнике медиана,  проведенная к стороне  треугольника является одновременно высотой, к этой стороне  и биссектрисойугла, из вершины которого она проведена. Следовательно, медианы АМ и ВК перпендикулярны сторонам ВС и АС, соответственно.

2. В равностороннем треугольнике все углы равны по 600. Учитывая пункт 1, угол КВС равен 300.

3. Треугольник ОВМ - прямоугольный, острый угол которого равен 300, следовательно, на основании того, что сумма углов в треугольнике равна 1800, угол ВОМ (между диагоналями) равен 600, что и т. д.

Примечание. При решении задачи были использованы:

1) свойства равностороннего треугольника;

2) свойства медиан равностороннего треугольника;

3) теорема о сумме углов в треугольнике.

Задача3. В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна 15 см и перпендикулярна большей боковой стороне. Меньшая боковая сторона 12 см. Найдите большее основание трапеции.

Решение.

1. Треугольник АВС - прямоугольный, в котором известны гипотенуза и один из катетов, следовательно, по теореме Пифагора можно найти второй катет, который является меньшим основанием трапеции:

=.

2. Проведем в трапеции высоту СН, т. к. трапеция прямоугольная, АН=9.

3. Обозначим НD = х. Тогда АD = 9 + х. По условию треугольник АСD - прямоугольный, в котором катет АС=15 и гипотенуза АD = 9 + х, тогда по теореме Пифагора имеем:

4.Треугольник НСD - прямоугольный, в котором катеты СН=15 и НD = х, следовательно, по теореме Пифагора можно найти гипотенузу этого треугольника:

5. Приравняв , полученное из разных треугольников, составим уравнение и решим его:

.

6. Учитывая 3, большее основание трапеции равно:  АD = 9 + х = 9 + 16 = 25.

Ответ: 25.

Примечание. При решении задачи была использована  теорема Пифагора. Заметим, что при решении был использован прием выражения неизвестной величины из разных треугольников, что позволяет составить уравнение и найти неизвестную величину.

Задача4. Два равных квадрата ABCD и MPKT расположены так, что точка Р делит диагональ BD в отношении BP:PD = 2:1, а точка D лежит на диагонали РТ. Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек данных квадратов, если длина стороны каждого квадрата равна 3.

Решение.

1. В соответствии с чертежом, в задаче необходимо найти площадь фигуры ABCHKTML, которая равна:  .

2. Исходя из условия задачи .

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВD и LPD. Т. к. угол D - общий, эти треугольники подобны, следовательно,  – квадрат.

4. Для нахождения стороны квадрата , учитывая пункт 3 и условие: BP:PD = 2:1, имеем: , откуда: . Тогда =1.

5.

Ответ: 17.

Примечание.

При решении задачи были использованы:

1) признак подобия прямоугольных треугольников;

2) формула площади квадрата.

Задача 5.Дан равнобедренный треугольник АВС, площадь которого равна 20. ВД и АН – высоты треугольника, которые пересекаются в точке К, высота АН равна . Найти площадь треугольника ВКН.

Решение.

1)  Зная площадь треугольника АВС и длину АН, найдем ВС и АВ: , откуда  .  .

2) Зная АВ и АН, из треугольника АВН найдем ВН:  ВН2 = АВ2 – АН2, откуда

= .

3) Так как ВК – биссектриса треугольника АВН, то АК : КН = ВА : ВН, то есть , .  С другой стороны, АН = АК + КН, то есть АК = АН – КН; АК = –  КН. Получили уравнение:

КН = ( –  КН), откуда следует: или , откуда .

4) Зная катеты треугольника КВН, найдем его площадь:

= 4,5.

Ответ: 4,5.

Примечание. Задача имеет не единственный способ решения. Можно было за ключевой момент взять подобие треугольников ВКН и АКD, а можно было бы использовать и тригонометрический аппарат. В представленном решении за ключевую основу взято свойство биссектриса треугольника.

       

Задача 6.В треугольнике АВС сторона АВ рана 11, медиана ВМ равна . Найти АС, если площадь треугольника АВС равна и АВ < АМ.

Решение.  Пусть величина угла АВМ равна ?.

1) Так как медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равных по площади), то

= .

Получили уравнение  . Откуда . Так как АВ < АМ, то угол  ? – острый  ? = 30°, следовательно, .

2) По теореме косинусов найдем АМ:

АМ2 = АВ2 + ВМ2 – = 121 + 27 - 2·11·· = 49. Откуда АМ=7.  Так как АС = 2АМ, то АС = 14.Ответ: АС = 14.

Примечание. Теоретические основы задачи: формула площади треугольника ; теорема косинусов и определение медианы.

Задача 7.Найдите основание тупоугольного равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса , если расстояние от центра до боковой стороны треугольника равно 15.

Решение. Из условия задачи следует, что угол АСВ – тупой (следовательно, центр описанной окружности лежит вне треугольника); ОМ – высота  и медиана равнобедренного треугольника ОСВ.

1) Из треугольника ОМВ выражаем МВ2 = ОВ2 – ОМ2; МВ = , следовательно СВ = АС = 30.

2) Выразим искомую сторону АВ с помощью теорем косинусов и синусов:

  АВ2 = АС2 + ВС2 + 2АС·ВС·;  АВ = 2.

Составим и решим уравнение:  АВ2 = АС2 + ВС2 + 2АС·ВС·=

  900 + 900+ 1800 = 4·16·15·(1 - )

1800 + 1800 = 960 – 960, откуда имеем 8 + 15 +7 =0, следовательно  = -1 и ? = ? – постороннее решение, или= - - удовлетворяет условию задачи.

3) Найдем сторону АВ: АВ2 = 1800 + 1800·(-) = 1800 – 1575 = 225,  АВ = 15.

Ответ: АВ = 15.

Примечание. Опорными знаниями для решения задачи явились теоремы Пифагора, косинусов и синусов.

       

Задача 8.Площадь треугольника равна 96, а его стороны относятся как 3:4:5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение. Пусть коэффициент пропорциональности сторон равен х, тогда длины сторон равныа = 3х, b = 4х, с = 5х.

       1) Найдем значение х, воспользовавшись формулой Герона:

;  96 = ; 96 = 6х2;  х = 4, значита = 12; b = 16; с = 20.

2) Для вычисления радиуса R воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны . Откуда ; ; R = 10.

Ответ:R = 10.

Примечание. Использовали две формулы площади треугольника и метод площадей.

У этой задачи есть еще одно решение: не трудно заметить, что стороны треугольника (вернее – их отношения) образуют Пифагорову тройку. Поэтому данный треугольник – прямоугольный. Тогда удвоенная площадь треугольника равна произведению катетов. Далее легко решить данную задачу.

Задача 9.Дан треугольник МРК, РК = 8, угол М равен 45°. Найти площадь треугольника РОК, где О – центр описанной около треугольника РМК окружности.

Решение.

       1) Так как угол РМК – вписанный и равен 45°, то дуга РК равна 90°, следовательно центральный угол РОК равен 90°, следовательно треугольник РОК – прямоугольный.

       2) По теореме Пифагора РК2 = ОР2 + ОК2; 

64 = 2·R2, то есть R2 = 32.

       3) Вычислим искомую площадь: .

Примечание. Теоретические основы решения задачи включают свойства вписанного и центрального углов, теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника.

       

Задачи для самостоятельного решения

В квадрат площадью 24 вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1:3. Найдите площадь прямоугольника. Докажите, что если в треугольнике АВС сторона АВ в два раза больше АС, то медиана, входящая из вершины С, перпендикулярна биссектрисе угла А. На продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С взята точка D так, что BDC =  АВС. Известно, что АВ = 3, DC = 8. Найдите АС. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 6, ВМ = 24. Докажите, что диагональ многоугольника меньше половины его периметра.