Гущин-4
B-1
Сырок стоит 8 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 50 рублей?
Решение.
Разделим 50 на 8,2:
Значит, на 50 рублей можно купить 6 сырков.
Ответ: 6.
B-2
Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?
Решение.
Налог составит 700 
0,13 = 91 рубль. После выплаты налога останется 700 ? 91 = 609 рублей. Разделим 609 на 60:
.
Значит, денег хватает на 10 тюльпанов. В букете должно быть нечетное число цветов, поэтому студент купит 9 тюльпанов.
Ответ: 9.
B-3
На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н 
м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой v = 0,036n, где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не меньше 120 Н 
м? Ответ дайте в километрах в час.
Решение.
Для того, чтобы крутящий момент был не меньше 120 Н 
м число оборотов двигателя в минуту n должно быть не меньше 2000 и не больше 5000 (см. график). Поэтому искомая наименьшая скорость определяется по формуле v = 0,036 
2000 = 72 км/ч.
Ответ: 72.
B-4
Для остекления музейных витрин требуется заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?
Фирма | Цена стекла | Резка стекла | Дополнительные условия |
A | 300 | 17 | |
Б | 320 | 13 | |
В | 340 | 8 | При заказе на сумму больше 2500 руб. |
Решение.
Общая площадь стекла, которого нужно изготовить равна 20 
0,25 = 5 м2.
Стоимость заказа в фирме А складывается из стоимости стекла 300 
5 = 1500 руб. и стоимости его резки и шлифовки 17 
20 = 340 руб. Всего 1840 руб.
Стоимость заказа в фирме Б складывается из стоимости стекла 320 
5 = 1600 руб. и стоимости его резки и шлифовки 13 
20 = 260 руб. Всего 1860 руб.
Стоимость заказа в фирме В складывается из стоимости стекла 340 
5 = 1700 руб. и стоимости его резки и шлифовки 8 
20 = 160 руб. Всего 1860 руб.
Стоимость самого дешевого заказа составляет 1840 рублей.
Ответ: 1840.
B-5
Найдите ординату центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (?2; ?2), (6; ?2), (6; 4), (?2; 4).
Решение.
Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Диагональ равна диаметру окружности, описанной около треугольника, следовательно, центр окружности лежит на середине диагонали прямоугольника. Тогда можно легко найти координаты центра окружности.
, 
.
Ответ: 1.
B-6
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Решение.
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:
Ответ: 0,0545.
B-7
Решите уравнение 
.
Решение.
Заметим, что 
и используем формулу 
Имеем:
Ответ: 2.
B-8
В треугольнике 
угол 
равен 90°, 
. Найдите 
.
Решение.
Ответ: 0,96.
B-9
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; ?2), B (2; 0), C (?6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB
.
Ответ: ?0,25.
B-10
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Объем многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами (5, 3, 2), (3, 3, 5) и (2, 3, 2):
.
Ответ: 87.
B-11
Найдите значение выражения 
.
Решение.
Выполним преобразования:
.
Ответ: 6.
B-12
При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону 
, где 
м — длина покоящейся ракеты, 
км/с — скорость света, а 
— скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 68 м? Ответ выразите в км/с.
Решение.
Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 68 м. Задача сводится к решению уравнения 
при заданном значении длины покоящейся ракеты 
м и известной величине скорости света 
км/с:
км/с.
Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 68 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна 180 000 км/с.
Ответ: 180 000.
B-13
Найдите объем 
части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите 
.
Решение.
Объем данной части конуса равен
.
Ответ: 243.
B-14
Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение.
Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма
.
Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма
.
Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше.
Ответ: 35 000.
B-15
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
.
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке 
заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:
.
Ответ: ?54.
С-1
а) Решите уравнение 
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение.
а) Запишем уравнение в виде 
Решив последнее уравнение как квадратное относительно 
получим 
или 
Значит, 
откуда 
или 
что невозможно.
б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку 
это 
Ответ: а) 
б) 
С-2
В правильной четырехугольной призме 
высота равна 1, а сторона основания равна 
. Точка 
— середина ребра 
. Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
.
Решение.
Рассмотрим треугольную пирамиду 
. Ее объем можно выразить двумя способами:
1) 
.
2) 
, где 
искомое расстояние.
Приравняем выражения для объемов и выразим его:
Найдем площадь равнобедренного треугольника 
. Проведем в нем высоту 
.
.
.
.
.
.
Следовательно, искомое расстояние 
.
Ответ: 
.
С-3
Решите систему неравенств
Решение.
Рассмотрим первое неравенство системы.
Положим 
Тогда неравенство принимает вид 
откуда 
Таким образом, 
Рассмотрим второе неравенство системы.
Так как 
и 
для любого 
воспользовавшись тождеством 
и методом интервалов, получаем:
Сравним числа 
и 
Имеем 
а, значит, 
т. е., 
откуда и получаем решение данной системы 
Ответ: 
С-4
Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Решение.
Рассмотрим равнобедренный треугольник 
в котором 
Пусть 
— высота треугольника 
Тогда 
— середина 
Обозначим 
Тогда 
Предположим, что окружность радиуса 
с центром 
вписана в угол 
и касается основания 
в точке 
а окружность того же радиуса с центром 
вписана в угол 
касается основания 
в точке 
а первой окружности — в точке 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
, а 
Из прямоугольного треугольника 
находим:
. Тогда 
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому 
значит, 
поскольку 
— прямоугольник. Следовательно,
откуда находим 
Пусть теперь окружность радиуса 
с центром 
вписана в угол 
и касается боковой стороны 
в точке 
вторая окружность радиуса 
с центром 
вписана в угол 
касается боковой стороны 
в точке 
а также касается первой окружности.
Из прямоугольных треугольников 
и 
находим:
Следовательно, 
откуда находим 
.
В случае, когда окружности вписаны в углы 
и 
, получим тот же результат.
Ответ: 4 или 
.
С-5
Найдите все значения a, при которых уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (?1; 1].
Решение.
Уравнение 
равносильно системе
Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
если уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку 
либо промежутку 
Поскольку графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке 
уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
при условии
(рис. 1).
Уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
при условии
(рис. 2).
Уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
при 
и при 
Ответ: 
С-6
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Решение.
Пусть данное число равно 
где 
и 
— цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно 
то выполнено 
а) Если частное равно 90, то 
что верно, например, при 
частное числа 810 и суммы его цифр равно 90.
б) Если частное равно 88, то 
. Получаем: 
Значит, 
или 
Но ни 78, ни 87 не делится на 12. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.
в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 100, и суммы его цифр. Тогда
Учитывая, что 
получаем:
откуда 
Частное числа 910 и суммы его цифр равно 91. Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного 100, и суммы его цифр равно 91.
Ответ: а) да; б) нет; в) 91.
