Матбой, группа Ферма - родители

Матбой,

группа Ферма - родители

Два автомобиля «Новой Почты» выезжают одновременно  навстречу друг другу из Киева и Одессы и курсируют туда и обратно встречаясь по дороге друг с другом. В первый раз они встречаются на расстоянии  230 киллометров от ближайшего из двух городов. А в третий раз они встретятся на расстоянии 140 км от ближайшего из двух городов. Какое расстояние между городами?
Выберите восемь ненулевых цифр и расставьте их в вершинах куба так, чтоб на каждой грани была одна и та же сумма чисел, не кратная девятой цифре.
Расставьте в кружках буквы X, Y и Z так, чтобы не было равносторонних треугольников с тремя одинаковыми буквами в вершинах.
Из пятидесяти последовательных натуральных чисел выбрали произвольные 22. Докажите, что среди них найдётся пара чисел, сумма квадратов которых делится на 5.
Ученики ЦДНТ «Цифра» в субботу участвовали в письменном туре олимпиады. Решать задания их рассадили по восьми одинаковым аудиториям. Те же ученики в воскресение участвовали в устном туре олимпиады. Две аудитории заняли принимающие, а участников рассадили решать задания по остальным аудиториям. Докажите, что обязательно найдутся три ученика, которые в воскресение решали задания в более заполненных аудиториях.
Расположите в порядке возрастания числа: ; ; ; ; ; ;
Четырнадцать учеников группы «Неолимпийская» в течение года нехотя участвовали в разных олимпиадах. В конце года оказалось, что каждый из учеников участвовал  не более чем в двух олимпиадах, причем для любой пары учеников найдется олимпиада, в которой они участвовали вместе. Докажите, что найдется олимпиада, в которой участвовало не менее девяти учеников.
На клетчатой бумаге в прямоугольнике 5 на 8 нарисуйте замкнутую, несамопересекающуюся ломаную как можно большей длины, каждое звено которой является диагональю прямоугольника 2 на 1.