Тема урока: «Преобразование подобия: гомотетия.»

Тема урока: «Преобразование подобия: гомотетия.»

Кроме преобразований движения, которые сохраняют расстояния между точками, существуют преобразования, не обладающие этими свойствами. Сегодня мы рассмотрим такие преобразования. - Запишите тему: Преобразование подобия: гомотетия.

- Сначала выполните следующее задание: начертите у себя в тетрадях, а мы на доске, схематично план класса.

- Почему стол на плане изображен прямоугольником (а не кругом или квадратом)?

- Чем отличаются и что имеют общего стол на планах на доске и в тетрадях? (отличаются размерами, но имеют одну и ту же форму).

- В жизни часто встречаются предметы, имеющие одинаковую форму, но различные размеры. Таковы, например, фотографии одного и того же лица, изготовленные с одного негатива в различных размерах, планы здания или целого города, местности, вычерченные в различных масштабах.
Такие фигуры принято называть подобными, а преобразование, переводящее одну фигуру F в подобную фигуру F?, называют преобразованием подобия.
Учащимся предлагается привести примеры таких предметов из жизни.

гомотетия - это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).

Слово гомотетия происходит от греческих слов homуs — равный, одинаковый, взаимный, общий (составная часть сложных слов, означающая равенство, однородность, единство) - и thetуs — расположенный. Это математическое преобразование плоскости, переводящие одну точку плоскости в другую по правилу: ОК = k ОК1, где k – коэффициент гомотетии, О – центр гомотетии

Свойства:

Если коэффициент гомотетии равен 1, то каждая точка переводится сама в себя. Если коэффициент гомотетии равен -1, то гомотетия является центральной симметрией. Как и любое преобразование подобия, гомотетия преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность. Гомотетия отображает прямую, не проходящую через центр гомотетии, на параллельную ей прямую. Прямая, содержащая центр гомотетии, переходит в себя. Как и любое преобразование подобия, гомотетия сохраняет величины углов между кривыми.

Интересно: любые две окружности гомотетичны.

Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Это можно записать: гомотетия H(O;k).

На рисунке из фигуры F1 можно получить фигуру F2 гомотетией (O;2).

Центр гомотетии может находиться и внутри фигуры. Жёлтый треугольник из треугольника ABC получен гомотетией (O;0,5).

Гомотетия (O;-1) - это центральная симметрия или поворот на 180 градусов, в данном случае фигуры одинаковые.

В отличии от гомотетии, геометрические преобразования - центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, параллельный перенос являются движением, т. к. в них фигура отображается в фигуру, равную данной.

Гомотетичные фигуры подобны, но подобные фигуры не всегда гомотетичны (в гомотетии важно расположение фигур).

В орнаментах можно видеть бесконечное множество подобных фигур, но обычно они не гомотетичны, т. к. у них невозможно определить центр гомотетии.

Является ли гомотетия движением? На плоскости даны два параллельных неравных отрезка. Сколько существует гомотетий, переводящих один отрезок в другой? На плоскости даны два непараллельных неравных отрезка. Сколько существует гомотетий, переводящих один отрезок в другой В результате гомотетии точка A(1; 2) переходит в точку A'(-2; 6), а точка В(-4;-2) в точку В'(-10;6). Найдите коэффициент гомотетии. Существует ли гомотетия, переводящая квадрат в прямоугольник?