Учитель математики  МБОУ СОШ № 10

г. Красноярск

2016г.

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ С  ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  СРЕДЫ GEOGEBRA 

В данной статье автор поднимает актуальную проблему применения геометрической среды GeoGebra на уроках математики, посвященных изучению геометрических построений. Доказывается целесообразность приме - нения вышеназванной информационной технологии в случаях, когда учителю приходится рисовать на доске множество различных фигур и пытаться изоб - разить процесс их преобразования. Рассматривается, что среда GeoGebra эко - номит время на занятиях, предоставляя анимационные чертежи, повышает наглядность по сравнению со статичной картинкой на доске.

GeoGebra – это программное обеспечение, которое создано для того, чтобы сделать видимой связь двух разделов математики: алгебры (изучающей бук - венно?числовые выражения, равенства и неравенства таких выражений) и геометрии (изучающей фигуры, их свойства, взаимопревращение и расположение на плоскости или в пространстве).

Выполним на одном анимационном чертеже вычерчивание функций   и .

Построение.

1. Строим начальные точки , , , отрезок и единичную окружность.

2. Строим «текущую» точку и проводим через нее вертикаль.

3. Вводим числа (абсциссу точки ) и (градусную меру центрального угла, опирающегося на дугу единичной окружности, измеряемую величиной направленного отрезка  ), а затем строим этот угол по его градусной мере (угол ). На числовой окружности точка изображает число .

4. Строим проекцию точки на вертикаль, проходящую через точку . Заставляем точку оставлять след. При анимации точки точка вычертит синусоиду – график функции .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

5. Строим точку , которая при анимации точки будет вычерчивать график функции . Для этого через точку проводим прямую параллельно отрезку и отмечаем точку пересечения этой прямой с осью ординат. Затем через точку проводим горизонталь и отмечаем точку построенной горизонтали с вертикалью, проведенной через точку . Заставляем точку оставлять след.

Включаем анимацию точки и наблюдаем вычерчивание графиков. Очень похоже, что график функции получается из графика функции путем переноса синусоиды вдоль оси абсцисс влево на . Чтобы подтвердить нашу догадку, рассмотрим живой рисунок 77. На нем точка изображает число на числовой окружности, а ее декартовы координаты равны ; точка изображает число , а декартовыми координатами этой точки будут . Перемещая точку по окружности, рассмотрим положение ее в каждой четверти.

1-я четверть: ; .

2-я четверть: ; .

3-я четверть: ; .

4-я четверть: ; .

Вывод: , для любого действительного числа . Формулы означают, что если синусоиду сдвинуть вдоль оси абсцисс влево на , то получим график функции , а если график функции сдвинуть вдоль оси абсцисс влево на , то получим синусоиду, отраженную от оси абсцисс.

Заменяя в формулах на , получим формулы , . Наконец, заменяя в полученных формулах на и пользуясь четностью функции и нечетностью функции , получим еще порцию формул: , откуда ; , откуда ; , откуда , ; , откуда .

Полученные в этом пункте формулы называются формулами приведения. Название связано с тем, что формулы помогают привести значение функции к случаю острого угла: «формулы приведения к острому углу», когда действительное число (мера угла) удовлетворяет неравенству .

Как же запомнить все эти формулы? Попробуем как-то их классифицировать. Сначала выпишем те из них, в которых прибавляется или отнимается , а затем выпишем те, где прибавляется или отнимается :

, ;

, .

Общий вывод: 1) Если к аргументу прибавляется один из углов , то название функции изменяется на родственное, а если прибавляется , то название функции не изменяется.

2) Знак в правой части равенства определяется положением аргумента левой части равенства на единичной окружности в предположении, что обозначает острый угол.

Например, воспользуемся этим правилом для нахождения . Представим аргумент в виде и обозначим . Согласно правилу, (считая угол острым, получаем угол в четвертой четверти, а синус такого угла отрицательный). Теперь находим (считая угол острым, получаем угол в третьей четверти, а косинус такого угла отрицательный). Таким образом, .

Задание. Сформулируйте каждую из формул приведения на языке преобразований графиков функций.

Построим живой рисунок для проверки формулировок формул приведения на языке преобразований графиков функций.

Построение.

1. Строим вспомогательные точки , , строкой ввода строим график функции и «текущую» точку . Проводим вертикаль через точку .

2. Строим вектор и образ точки  при параллельном переносе на этот вектор. Получаем точку .

3. Через точку проводим вертикаль, отмечаем точку пересечения построенной вертикали с синусоидой, проводим через нее горизонталь и отмечаем точку пересечения горизонтали с вертикалью, проходящей через точку . Заставляем эту точку оставлять след и задаем анимацию точки . Наблюдаем как точка , оставляя след, вычерчивает график функции .

4) Строкой ввода строим график функции и видим, что он совпадает с линией, вычерчиваемой точкой . Это подтверждает формулу : синусоида, сдвинутая вдоль оси абсцисс влево на  совпадает с графиком функции .

Для подтверждения геометрического смысла формулы нужно будет строкой ввода ввести точку и построить графики функций и . Затем включаем анимацию точки и наблюдаем как вычерчиваемая точкой кривая ложится на синусоиду.

Формулы можно дополнить для аргументов .

Используя информационные технологии можно разнообразить занятия по геометрии красочными, анимированными слайдами.

Список используемой литературы:

Компьютерная анимация в среде GeoGebra на уроках математики: учебное пособие. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015. – 192с. , Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Ч. 1. Учебник 10. – М.: «Мнемозина», 2008.  Математика (ЕГЭ) [Электронный ресурс]. URL: http://www. mathege. ru А. Зиатдинов. О возможностях использования интерактивной геометрической среды Geogebra 3.0 в учебном процессе.//Материалы 10-й Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (СКМП-2009),  СмолГУ,  г. Смоленск, 2009, C. 39-40 (PDF, 122 Kb). , В. М.  Ракута. (2012). Системы динамической геометрии как средство компьютерного моделирования в системе современного математического образования. European Journal of Contemporary Education 1(1), 93-100 (PDF, 311 Kb). http://ru. wikipedia. org/wiki/GeoGebra