Изгиб прямых стержней

13 ИЗГИБ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

13.1 Общие понятия об изгибе балок

Во многих конструкциях в большом количестве встречаются элементы, работающие на изгиб. Стержни, работающие преимущественно на изгиб, называют балками (рисунок 13.1).

где а) – балка в естественном состоянии (без нагрузки);

б) – система изогнутая двумя парами, приложенными по концам;

в) – изгиб балки под действием силы Р.

Рисунок 13.1

Изображенный на боковой поверхности балки прямоугольник m n m1 n1 (рисунок 13.1, а) после деформации превращается в фигуру, близкую к трапеции, с двумя прямолинейными сторонами m m1 и n n1 и двумя криволинейными сторонами m n и m1 n1 (рисунок 13.1, б). Нижние волокна при этом удлиняются, а верхние укорачиваются.

В зависимости от способов приложения нагрузки и закрепления стержней возникают различные виды изгиба. В случае, когда изгибающий момент в поперечном сечении балки является единственным силовым фактором, а все остальные равны нулю, то изгиб называется чистым (рисунок 13.1, б).

Если кроме изгибающего момента в поперечных сечениях балки возникают также и поперечные силы, а нормальная сила при этом равна нулю, то такой изгиб называется поперечным (рисунок 13.1, в).

Если все силы, в том числе и опорные реакции, лежат в одной плоскости, совпадающей с осью симметрии сечения, то ось изогнутой балки также лежит в этой плоскости, и такой изгиб называют плоским.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

13.2 Внешние и внутренние силы при изгибе. Дифференциальные

зависимости между М, Q и q

Внешними силами называются силы взаимодействия между рассматриваемым элементом конструкции и связанными с ним телами.

Поверхностные силы – это силы возникшие путем взаимодействия данного тела с другими телами и они приложены, только к точкам поверхности тела в месте контакта, такие силы могут быть распределены непосредственно по всей поверхности тела или ее части.

Величина нагрузки, приходящаяся на единицу площади, называется интенсивностью нагрузки и имеет размерность кН/м2, (рисунок 13.2, а).

Весьма часто, распределенную по поверхности нагрузку приводят к главной плоскости, в результате получается распределенная по линии нагрузка, которая называется погонной нагрузкой, обозначается через q и имеет размерность кН/м, (рисунок 13.2, б).

Рисунок 13.2

Равнодействующая распределенной нагрузки численно равна площади ее эпюры и приложена в центре ее тяжести.

Если нагрузка распределена на небольшой части поверхности тела, то ее всегда заменяют равнодействующей, которая называется сосредоточенной силой Р (кН). Кроме того, встречаются нагрузки представленные в виде момента М (кН•м).

В настоящее время рассматриваются силы, действующие на балку и образующие систему параллельных сил, лежащих в одной плоскости и пересекающих ось балки под прямым углом.

Для определения внутренних силовых факторов в произвольном поперечном сечении, необходимо рассечь балку на две части плоскостью, перпендикулярной оси балки (рисунок 13.3).

Рисунок 13.3

При поперечном изгибе во всех сечениях балки нормальная сила равна нулю, а внутренние силы сводятся к изгибающему моменту и поперечной силе.

На рисунке 13.4, а представлена изогнутая балка с деформацией изгиба, сопровождаемая растяжением одних волокон и сжатием других, в данном случае: верхние сжимаются, а нижние удлиняются.

а)

б)

Рисунок 13.4

Установим следующее правило знаков: изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон. Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть вырезанный из балки элемент по ходу часовой стрелки.

На рисунке 13.4, б показана балка, которая двумя сечениями, проведенными нормально к оси, разрезана на три части. Действие изгибающего момента и поперечной силы на эти три части показано в положительном направлении.

Изгибающий момент Мх и поперечная сила Qу и интенсивность внешней нагрузки q связаны определенной зависимостью. Вырежем из балки, загруженной равномерной нагрузкой q, изменяющейся по какому-либо закону (рисунок 13.5, а), элемент длиной dх (рисунок 13.5, б). Нагрузку считают положительной, если она направлена кверху; на протяжении длины dх она является равномерно распределенной.

а) б)

Рисунок 13.5

(13.1)

Первые две зависимости используются для проверки правильности построения эпюр моментов и поперечных сил.

13.3 Основные типы балок и опорных связей.

Определение опорных реакций

Балками называются прямолинейные стержни, работающие на изгиб. В сопромате термин «балка» значительно шире, чем в обычном употреблении данного слова: с точки зрения расчета на прочность, жесткость и устойчивость балкой является не только строительная балка, но также вал, болт, ось железнодорожного вагона, зуб шестерни и т. п.

Для воспринятия нагрузки и передачи ее на основание, балка должна быть соединена с ним опорными связями, которые зависят от устройства опоры. Различают три основных типа опорных связей.

Шарнирно-неподвижная опора (рисунок 13.6) Эта опора допускает свободный поворот сечения балки над опорой в одной плоскости относительно оси цилиндрического шарнира, но не дает возможности смещаться, ни по вертикали, ни по горизонтали. В такой опоре возникают две составляющие реакции: вертикальная R и горизонтальная Н.

Рисунок 13.6

Шарнирно-подвижная опора (рисунок 13.7) Эта опора допускает перемещение в одном направлении, например по горизонтали, и поворот сечения над опорой вокруг шарнира. Реакция такой опоры R направлена вдоль опорной связи или перпендикулярно плоскости опирания катков.

Рисунок 13.7

Жесткая заделка (рисунок 13.8, а, б). Данная опора не допускает перемещения и поворота по двум направлениям сечения балки, примыкающего к месту защемления. Реакции в заделке состоят из вертикальной силы R, горизонтальной силы Н и момента М. Иногда заделку представляют в виде трех линейных связей (рисунок 13.8, в).

Рисунок 13.8

Для того чтобы балка могла воспринимать нагрузку, расположенную в одной плоскости, ее необходимо закрепить в этой плоскости с помощью связей. Минимальное число связей обеспечивающих неподвижность балки по отношению к основанию равно трем.

Применяются различные способы крепления балки к основанию: например, можно балку заделать одним концом или закрепить с помощью двух опор (подвижной и неподвижной). Возможен случай крепления с помощью трех подвижных опор, однако при этом нельзя допускать параллельности, а также пересечения в одной точке трех опорных стержней (рисунок 13.9, а, б).

Рисунок 13.9

На рисунке 13.10 представлены различные виды балок в зависимости от способов крепления их к основанию.

Рисунок 13.10

Простая двухопорная балка (рисунок 13.10, а), у которой одна опора шарнирно-подвижная, а другая шарнирно-неподвижная. Балка, с жесткой заделкой на левом конце (рисунок 13.10, б). Балка на двух опорах с консолями по краям (рисунок 13.10, в). Сложная система, состоящая из трех брусьев, шарнирно соединенных в точках К1 и К2 (рисунок 13.10, г). В этой системе число опорных связей равно пяти, но она является статически определимой и называется многопролетной балкой.

Для расчета балок на изгиб необходимо знать все действующие на нее силы. Поскольку внешняя нагрузка обычно задана, то для вычисления всех действующих на балку сил нужно определять неизвестные опорные реакции. Для их нахождения используются три наиболее часто встречающихся способа:

; ;. (13.2)

; ;. (13.3)

; ;. (13.4)

При определении опорных реакций необходимо составлять уравнения, чтобы каждое из них содержало не более одного неизвестного. Наиболее часто для этой цели составляются уравнения моментов относительно опорных точек (формула 13.3). Найдя реакции опор RА и RВ нужно произвести проверку правильности их вычисления, используя уравнения:

или . (13.5)

Точка «С» может быть расположена в любом месте балки, но с условием, чтобы относительно нее имели момент все приложенные силы.

Если в результате вычисления какая-либо реакция окажется отрицательной, то на схеме необходимо поменять ее направление на обратное по сравнению с первоначально принятым в расчете.

Если нагрузки, действующие на балку, перпендикулярны к ее оси, то Н=0 и уравнение для ее определения () не используется.

Системы, в которых число уравнений равновесия достаточно для определения всех опорных реакций, называют статически определимыми.

Балки, имеющие число реакций больше числа независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

13.4 Построение эпюр моментов и поперечных сил в балках

Для расчета балки на изгиб нужно знать величину максимального изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает, а также значение наибольшей поперечной силы Q.

При необходимости выяснения закона изменения М и Q по длине балки строятся так называемые эпюры моментов и поперечных сил. Эти эпюры представляют собой графическое изображение функций М и Q на протяжении всей балки. По эпюрам легко определить положение максимального момента или поперечной силы. После вычисления конкретных значений моментов и поперечных сил в ряде точек строятся соответствующие графики.

При определении М и Q в каком-либо сечении, балка мысленно разделяется на две части и рассматривается равновесие одной из отсеченных частей. Действие отброшенной части заменяется внутренними силовыми факторами М и Q, которые и вычисляются из уравнений равновесия.

На расчетной схеме балку принято заменять осью. При этом все нагрузки приводятся к оси балки и силовая плоскость должна совпадать с плоскостью чертежа.

13.5 Некоторые особенности построения эпюр

изгибающих моментов и поперечных сил

На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными базе, а эпюра М – наклонными прямыми. На участках, где действует равномерно-распределенная нагрузка q, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М – квадратичной параболой.

3) В сечениях, где Q=0, эпюра М имеет максимальное значение.

4) В сечении, где к балке приложены сосредоточенные силы:

- на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил;

- на эпюре М будут переломы, причем острие перелома направлено против действия сил.

5) В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре М будут скачки на величину этих моментов (на эпюре Q изменений не будет).

6) Если на конце консоли или в концевой опоре к балке приложен сосредоточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внешнему моменту. Если же в концевой шарнирной опоре или на конце консоли балка не загружена внешним моментом, то в них М=0.

7) Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от эпюры М.

14 ИЗГИБ. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

ПРИ ИЗГИБЕ. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ

14.1 Деформации при чистом изгибе

При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор – изгибающий момент.

Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил с моментом M (рисунок 14.1)

Рисунок 14.1

При чистом изгибе выполняются гипотезы плоских сечений и ненадавливаемости слоев.

Сечения бруса, плоские и перпендикулярные продольной оси, после деформации остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси.

Продольные волокна не давят друг на друга, поэтому слои испытывают простое растяжение или сжатие.

Действуют только нормальные напряжения.

Поперечные размеры сечений не изменяются.

Продольная ось бруса после деформации изгиба искривляется, и образует дугу окружности радиуса ? (рисунок 14.2). Материал подчиняется закону Гука.

Рисунок 14.2

Как видно из рисунка, верхние волокна удлиняются, а нижние – укорачиваются, но есть и такой слой, в котором нормальные напряжения равны нулю и соответственно длина данного слоя при изгибе не изменяется. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (НС) или нулевой линией (НЛ). Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения, ? является радиусом кривизны нулевой линии.

Рассмотрим деформацию слоя, расположенного на расстоянии у от нейтральной оси (рисунок 14.2).

Длина участка до деформации равна длине нулевой линии:

. (14.1)

Абсолютное удлинение слоя может быть определено по формуле:

. (14.2)

Относительное удлинение вычисляется, как:

; . (14.3)

Относительное удлинение прямо пропорционально расстоянию слоя до нейтральной оси.

Используя закон Гука, получим зависимость нормального напряжения при изгибе от положения слоя:

, или , (14.4)

где Jх - геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе представлена на рисунке 14.3.

Рисунок 14.3

По эпюре распределения нормальных напряжений видно, что максимальное напряжение возникает в точке, для которой величина «у» принимает наибольшее значение, т. е. в наиболее удаленном волокне.

При у=уmax, получим:

. (14.5)

Отношение называют моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления.

Размерность – единица длины в кубе (м3).

характеризует влияние формы и размеров сечения на прочность при изгибе.

Напряжение на поверхности определяется по формуле:

. (14.6)

14.2 Расчет на прочность при изгибе

Расчет на прочность – это определение напряжения и сравнения его с допустимым.

Условие прочности при изгибе выглядит следующим образом:

, (14.7)

где [?и] – допускаемое напряжение на изгиб.

По этому неравенству необходимо производить проверочные расчеты после окончания конструирования балки.

Для балок из хрупких материалов расчеты проводят по растянутой и сжатой зонам одновременно (рисунок 14.4)

Рисунок 14.4

; . (14.8)

14.3 Рациональные сечения при изгибе

Для любого сечения, имеющего ось симметрии (рисунок 14.5) возможен единственный момент сопротивления при изгибе, определяемый по формуле:

. (14.9)

Рисунок 14.5

Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии (рисунок 14.6), то необходимо рассчитывать два момента сопротивления:

и . (14.10)

Рисунок 14.6