Динамика системы, состоящей только из тормозящих типов нейронов ФитцХью-Нагумо

Динамика системы, состоящей только из тормозящих типов нейронов ФитцХью-Нагумо

Введение

       Современные проблемы радиотехники, электроники и телекоммуникаций, повышение эффективности каналов связи и многие другие задачи могут быть успешно решены с использованием нейронных сетей. В связи с этим, изучение динамики нейроноподобных систем играет важную роль в науке и технике.

       При изучении динамики нейронных систем исследуется поведение нелинейных дифференциальных уравнений, которые отображают те или иные модели нейронов, например, модели нейронов ФитцХью-Нагумо[1]. Нейроны бывают двух типов – «возбуждающих» и «тормозящих». Таким образом, можно разрабатывать различные структуры и топологии нейронных систем, соединяя в них нейроны разными способами. Так, в работах [2-7] были рассмотрены различные аспекты поведения простейшей системы нейронов ФитцХью-Нагумо, где система состоит из двух только нейронов, при этом один из них является «возбуждающим», а второй «тормозящим».

В настоящей работе рассмотрена динамика системы нейронов, где все нейроны относятся только к «тормозящему» типу. Теоретическое исследование поведения такой системы нейронов проведена в работе [8]. Продолжая начатую работу в [8], мы рассмотрим эту систему через численные исследования и компьютерного моделирования ее электронного аналога.

Исходные уравнения и численные исследования

       Исходные уравнения, описывающие поведение рассматриваемой нами системы глобально связанных нейронов, взято с работы [8] и представляется в следующем виде:

где – фаза i – го нейронного осциллятора, N – количество нейронов в системе, k – сила связи между нейронами, – частота осцилляций нейронов.

Уравнение (1) это известное уравнение Курамато, описывающее динамику нейрона в режиме осцилляций. Для получения системы «тормозящих» нейронов сила связи k должна быть меньше нуля.

Было проведено численное решение уравнения (1) при и . Результат данного решения для системы, состоящей из пяти нейронов, представлен на рисунке 1. Где кривые, соответствующие динамике каждого из этих нейронов, имеют различные цвета. На рисунке 1 по абсциссе отложено время, а по ординате текущая фаза осцилляторов.

Рисунок 1 – Динамика системы, состоящей из пяти тормозящих нейронов ФитцХью-Нагумо

Из риунка 1 видим, что осцилляторы не совершают колебания одновременно, они происходят строго по очереди. Это очень важное обстоятельство, говорящее о том, что системы нейронов, являющиеся только «тормозящими», не способны колебаться синхронно.

Вообще, все природные нейронные сети являются аналоговыми системами. В связи с этим, большой интерес представляет изучение динамики подобных систем с помощью аналоговой электроники. Следовательно, в нашей работе мы продолжили наши исследования с помощью создания электронного аналога системы нейронов, состоящих только из «тормозящих» типов нейронов.

Моделирование электронного аналога системы нейронов

       Создание электронного аналога системы нейронов, состоящих только из «тормозящих» нейронов, по уравнению (1) крайне затруднительно. В связи с этим, мы данное уравнение привели в иной вид через определенные преобразования.

Известно, что:

Тогда уравнение (1) можно привести в следующий вид:

Уравнение (3) можно переписать в следующем виде:

Введем следующие обозначения:

Тогда уравнение (4) можно представить в следующем виде:

Из уравнение (5) следует, что:

С учетом формул (6), (7) и (8), окончательно получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

Система уравнений (9) описывает динамику отдельного нейрона в новых переменных x и y.

Схема обобщенной компьютерной модели системы из трех нейронов, динамика которых описывается уравнением (9), показана на рисунке 2. Модель схемы построена с помощью специального программного обеспечения Multisim 12 [10].

Рисунок 2 – Обобщенная аналоговая схема, моделирующая динамику системы, состоящей из трех тормозящих нейронов ФитцХью-Нагумо

На рисунке 2 детали электронных схем не показаны. Там приведена только принципиальная схема, а некоторые детализированные части той схемы можно посмотреть на рисунке 3.

Рисунок 3 – Детали аналоговой схемы, моделирующей динамику системы, состоящей из трех тормозящих нейронов ФитцХью-Нагумо

По собранной схеме в среде Multisim 12, была проведена серия измерений сигналов, генерируемых системой глобально-отрицательно связанных нейронов. Часть временных реализаций этих измерений показаны на рисунке 4.

Рисунок 4 – Часть временной реализации сигналов системы, состоящей из трех тормозящих нейронов ФитцХью-Нагумо

Здесь также, как и на рисунке 1, кривые соответствующие динамике разных нейронов, имеют разные цвета.

Заключение

По рисункам 1 и 4 можно увидеть, что динамика системы нейронов, где все нейроны являются «тормозящего» типа, имеет идентичное поведение во времени как в случае численного исследования, так и в случае компьютерного моделирования электронного аналога. Особенность данного поведения заключается в том, что нейроны, входящие в рассматриваемую систему, генерируют колебательные сигналы строго по очередности. Известно, что при принятии решения центральной нервной системой необходимо, чтобы она получала сигналы одновременно от множества нейронов. Как видим по результатам данной работы, системы нейронов, состоящие только из «тормозящего» типа нейронов, не обладают свойством коллективного колебания. Соответственно, подобные системы не способны играть роль сенсорных систем.

Литература

Jane Cronin. Mathematical aspects of Hodgkin-Huxley neural theory. Cambridge University Press. 1987. , М. Закс, . Генерация сигналов кластером связанных двух автоколебательных систем на границе потери устойчивости равновесия. Теория. – Алматы: Журнал проблем эволюции открытых систем, 2012 г., вып. 14, том 1. , , . Численное исследование двухчастотного режима генерации сигналов кластером автоколебательных систем. - Алматы: Известия НАН РК, серия физическая, 2(288), 2013 г. B. Medetov, G. Weiss, Zh. Zhanabaev, M. Zaks. Numerically induced bursting in a set of coupled neuronal oscillators. //Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2015. , Н. Албанбай, , . Зависимость количества и частоты спайков во «взрывах», а также частоты «взрывов» от RC-параметра аналогового интегратора. – Алматы: Вестник КазНУ, серия физическая, 2014 г., №1(48), С. 61-67. , , Е. Есерханулы. Схемотехническое моделирование «двухчастотной» бифуркации Хопфа. - Алматы: Известия НАН РК, серия физическая, 2(288), 2013 г., с. 21-25. , , Н. Албанбай, . Экспериментальное измерение сигналов кластера связанных автоколебательных систем. – Алматы: Журнал ПЭОС, вып 15, том 1, 2013 г.,  с. 17-23. Michael A. Zaks, Petar Tomov. Onset of time dependence in ensembles of excitable elements with global repulsive coupling.// PHYSICAL REVIEW E 93, 020201(R) (2016). S. Shinomoto and Y. Kuramoto, Prog. Theor. Phys. 75, 1105
(1986) http://www. /download/ni-circuit-design-suite-educational-edition-12.0/2816/en/