Погранслойные линии в теории сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями (стр. 3 )

Определение 6. Погранслойное множество, являющееся непрерыв-ным, локально-взаимно однозначным образом отрезка, называется погран-слойной линией (ПСЛ). ПСЛ, проходящая через точку , обозначается символом

Определение 7. Для погранслойной точки t1? С число ? ? С, |? |=1  называется погранслойным направлением, если для ?? >0 существует такое малое ? >0, что множество {t ? С | |Arg(t? t1) ? Arg? | <?, | t? t1| =? }

содержит погранслойные точки.

Решение задачи (2)-(3) можно представить в виде

),  

Определение 8. Функция называется характеризующей функ-цией (ХФ).

Определение 9. Функция называется функцией амплитудной скорости (АСФ).

Во втором параграфе рассматривается взаимосвязь погранслойных линий и регулярных, сингулярных областей. Доказывается существование погранслойных направлений.

В силу условия a(t)?0, существует такое целое неотрицательное n, что

  (4)

После преобразований и подстановок (1) принимает вид

  (5) 

Выбирая ?=?0 (самое меньшее двумя способами) так, чтобы было  Re (?0n+1, получаем погранслойное направление.

Поскольку вдоль ПСЛ решение уравнения имеет быстрые колебания,  для уравнения (2) вводится функция

с целью – так подобрать функцию T(s) (T(0)=0), чтобы было .

  Таким путем получено уравнение ПСЛ в дифференциальной форме

  Re(a(T(s)) (s)= 0 и в интегральной форме  

Построены алгоритмы приближенного решения уравнений для ПСЛ. Составлена программа на языке pascal. Доказаны теоремы о разрешимости уравнений ПСЛ. Получена асимптотика решений СВОДУ на ПСЛ.

В третьем параграфе обобщено понятие многочлена Лагранжа - с заданными значениями функций и производных, с его помощью построены ПСЛ, удовлетворяющие условиям прохождения через заданные точки и ветвления.

Теорема 1. Для любого набора различных точек , существует такой многочлен что ПСЛ решения задачи (2)–(3) проходят через все эти точки.

Теорема  2. Для любого набора различных точек , и чисел  существует такой многочлен , что .

Теорема  3. Для любого набора различных точек  , существует такой многочлен , что ПСЛ решения задачи (2)–(3) проходят через все эти точки и во всех этих точках имеет место ветвление.

Третья глава состоит из девяти параграфов.

В первом параграфе вводится понятие: функция распределенной амплитудной скорости и с использованием ХФ и АСФ для СВОДУ  вычис-лены ПСЛ и построены пограничные области, регулярные и сингулярные области.

Также вводятся определения: простирающиеся пограничные области, переходные области. Существование всех вводимых понятий подтверждено примерами.

Во втором параграфе в топологической части с использованием характеризующих функций построены области, где рассматриваются заданные СВОДУ-С. Условие для всей главы: U2.

Для функции F(t),определенной в параграфе 2,1, обозначены ХФ

В силу условия U2 область ? полностью покрывается сетью взаимно ортогональных линий уровней функций Через произ-вольную точку в ? проходит единственная линия уровня функции   .

Лемма 1.  . 

Лемма 2. Функция строго монотонна вдоль линии уровня функции , а функция строго монотонна вдоль линии уровня функции

Построена решетка линий уровня которая линией уровня  разделяется на две части ?1 и ?2.

Лемма  3.

В третьем параграфе в аналитической части данной главы содержатся доказательства: существования и единственности решений начальных задач для СВОДУ-С, существования ПСЛ, построения регулярных и сингулярных областей. Приведен пример ПСЛ на римановой поверхности.

Для АСФ         функция рассматривается на неко-торой ориентированной кривой соединяющей точки . Отношение названо относительной амплитудной скоростью (ОАСФ).