Лекция по теме «Многогранники. Усечённая пирамида»
Мы продолжаем знакомство с многогранниками. На прошлом занятии вы познакомились с частным видом пирамиды –правильной пирамидой. Напомню, что пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник. Высотой такой пирамиды называется отрезок, проведённый из вершины в центр основания. |
Если ABCDE –правильный пятиугольник, то SABCDE-правильная пирамида. SO-высота. SO+( ABCDE) |
1.Изобразим произвольную пирамиду SA1 A2… An. 2. Проведём секущую плоскость параллельно основанию, пересекающую боковые рёбра пирамиды в точках В1 В2… Вn. 3.Секущая плоскость разбила пирамиду на два многогранника, один из которых так же является пирамидой., а другой называется усечённой пирамидой. |
|
Итак, усечённой пирамидой называется многогранник, гранями которого являются многоугольники А1 А2… Аn и В1 В2… Вn(верхнее и нижнее основания), расположенных на параллельных плоскостях и четырёхугольников А1 А2 В1 В2, А2 А3 В2 В3,…Аn-1 Аn Вn-1 Вn(боковые грани). Отрезки, соединяющие вершины оснований называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды. На чертеже изображена усечённая пирамида ABCDA1 B1 C1 D1. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из любой точки основания к плоскости другого. |
ABCDA1 B1 C1 D1-усечённая пирамида. ABCD и A1 B1 C1 D1 –основания А А1В1 В-боковая грань А А1-боковое ребро ОО1-высота |
Рассмотрим боковую грань А1 А2 В1 В2 усечённой пирамиды. Стороны А1 А2 и В1 В2 параллельны, так как принадлежат параллельным прямым по которым плоскость S А1 А2 пересекается с параллельными плоскостями альфа и бета. Стороны А1 В1 и А2 В2 не параллельны, так как их продолжения пересекаются в точке S. Таким образом мы доказали, что боковая грань правильной усечённой пирамиды А1 А2 В1 В2 - является трапецией. Очевидно, что все боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. |
? (желательно сопоставлять объекты чертежа со словами, можно анимацией либо просто выделять) |
Если усечённая пирамида получена путём сечения параллельно основанию правильной пирамиды, то усеченная пирамида будет так же правильной. Основания правильной усечённой пирамиды –это правильные многоугольники, а боковые грани - равнобедренные трапеции. Высота боковой грани называется апофемой. |
А А1В1 В - равнобедренная трапеция. В1Е-апофема. |
Сумма площадей боковых граней называется площадью боковой поверхности усечённой пирамиды. Эта площадь равна произведению апофемы на полусумму периметров. Доказательство следует из того, что боковые грани усечённой пирамиды - это равные равнобедренные трапеции, площади которых равны произведению полусуммы оснований на высоту - апофему. Вынося за скобку общий множитель –апофему и |
|
Применим свои знания при решении задач: Задача 1. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 4 дм и 2 дм. Точки О и О1-центры оснований пирамиды. Найти высоту и апофему пирамиды, если боковое ребро равно 2 дм. Для начала проведём краткий анализ задачи: так как усечённая пирамида правильная, то боковые рёбра-равные равнобедренные трапеции. В основании лежат правильные треугольники, значит все углы этих треугольников будут по 60 градусов. Решение: 1. Дополнительное построение: построим СМ перпендикулярно АВ, С1М1 перпендикулярно А1В1 и соединим точки М1 и М. По теореме о трёх перпендикулярах М1М перпендикулярен АВ(одновременно М1М перпендикулярна А1В1), значит М1М-апофема. 2. Поскольку точки О и О1-центры оснований пирамиды, то ОО1-высота h. Дополнительное построение: построим С1L перпендикулярно СМ и М1 N так же перпендикулярно СМ. Тогда С1L= ОО1= М1 N=h(как расстояния между параллельными прямыми). 3.Треугольники АВС и А1 В1 С1-правильные, значит ОС и О1С1-радиусы описанных окружностей треугольников АВС и А1 В1 С1. Найдем ОС и О1С1по формуле для нахождения радиуса описанной окружности ОС=АВ = 4 =4 дм 2sin600 2* О1С1=А1В1 =2 = 2 дм 2sin600 2* 4.Найдем длину отрезка СL как разность между длинами отрезков ОС и О1С1: СL= ОС - О1С1= 4 - 2 =2 дм v3 v3 v3 5.Из прямоугольного треугольника СС1L найдём С1 L по теореме Пифагора: С1 L=v СС12- СL2=v22-(2)2=v8 =2v6 дм (v3)2 v3 3 Так как С1L= ОО1=h, следовательно высота h равна 2v6 дм 3 6. По определению синуса из прямоугольного треугольника А1 С1 М найдём длину отрезка С1М1: С1М1=А1С1*sin600=2*v3 =v3 дм 2 Длину отрезка О1М1 найдем как разность длин отрезков С1М1 и С1О1: О1М1= С1М1- С1О1=v3-2 =1 дм v3 v3 7.Из прямоугольного треугольника АСМ по определению синуса найдём длину отрезка СМ: СМ=АС*sin600=4*v3 =2v3 дм 2 Из разности отрезков СМ и СО найдем длину ОМ: ОМ= СМ – СО=2v3-4 =2 дм v3 v3 8. Рассмотрим прямоугольный треугольник M1NM и найдем длину отрезка M1М по теореме Пифагора: M1М=vh2+MN2 Здесь неизвестна длина отрезка MN. Её можно найти как разность длин отрезков ОМ и ОN: MN= ОМ – ОN. В свою очередь ОN= О1 М1=1 дм, так как v3 О1 М1 NО-прямоугольник. Значит MN= ОМ – ОN= ОМ - О1 М1=2 - 1 =1 дм v3 v3 v3 Таким образом: M1М=vh2+MN2=v(2v3)2 +1 =v8 +1 =v9=v3 дм (3)2 (v3)2 3 3 3 Ответ: M1М=v3 дм, О1О=2v6 дм 3 |
Дано:АВСА1 В1 С1-усечённая пирамида, АВ=ВС=АС=4 дм, А1В1=В1С1=А1С1=2 дм, АА1=2 дм Найти: высоту, апофему Решение: 1.Д. п. СМ+АВ, С1М1+ А1В1> М1М+ АВ и М1М+ А1В1( по т. т.п.) М1М-апофема. 2. ОО1-высота h. Д. п. С1L+ СМ, М1 N+ СМ. С1L= ОО1= М1 N=h(как расстояния между параллельными прямыми). 3.? АВС и ? А1 В1 С1-правильные> ОС и О1С1-радиусы описанных окружностей. ОС=АВ = 4 =4 дм 2sin600 2* О1С1=А1В1 =2 = 2 дм 2sin600 2* 4. СL= ОС - О1С1= 4 - 2 =2 дм v3 v3 v3 5.? СС1L-прямоугольный, по теореме Пифагора: С1 L=v СС12- СL2=v22-(2)2=v8 =2v6 дм (v3)2 v3 3 6. С1М1=А1С1*sin600=2*v3 =v3 дм 2 О1М1= С1М1- С1О1=v3-2 =1 дм v3 v3 7. СМ=АС*sin600=4*v3 =2v3 дм 2 ОМ= СМ – СО=2v3-4 =2 дм v3 v3 8.? M1NM-прямоугольный, по теореме Пифагора: M1М=vh2+MN2 MN= ОМ – ОN. ОN= О1 М1=1 дм(О1 М1 NО-прямоугольник.) v3 MN= ОМ – ОN= ОМ - О1 М1=2 - 1 =1 дм v3 v3 v3 M1М=vh2+MN2 M1М==v(2v3)2 +1 =v8 +1 =v9=v3 дм (3)2 (v3)2 3 3 3 Ответ: M1М=v3 дм, О1О=2v6 дм 3 |
Сегодня мы расширили свои знания по теме многогранник, познакомились с новой фигурой-пирамидой и её элементами, научились решать задачи применяя новые полученные знания. |
? 
, в скобках получим сумму оснований. А это в свою очередь есть периметр оснований - правильных многоугольников.
v3
v3
v3
v3