Задание

7153. На старинных кораблях для подъёма якоря использовался кабестан - ворот, представлявший собой цилиндрическое бревно, к которому прикреплены одинаковые длинные ручки (см. рисунок). Матросы, отвечавшие за подъём якоря (якорная команда), наваливались на концы ручек, в результате чего ворот вращался, и якорная цепь наматывалась на бревно. Капитан, собираясь в дальнее плавание, приказал утяжелить якорь, после чего выяснилось, что прежняя якорная команда с трудом поднимает якорь только до поверхности воды. Чтобы исправить ситуацию, капитан распорядился переделать ворот. Пренебрегая трением и массой цепи, найдите, во сколько раз нужно удлинить ручки кабестана, чтобы прежняя якорная команда могла поднимать новый якорь до борта. Плотности воды и материала якоря ?в = 1 г/см3 и ?я = 8 г/см3 соответственно.

Дано: ?в = 1 г/см3 ; ?я = 8 г/см3.

Найти: k=?

Решение. Пусть r — радиус бревна кабестана, R — расстояние от оси старого кабестана до концов его ручек, M — масса нового якоря, V — его объём. Из условия известно, что якорная команда, пользуясь старым воротом, поднимает новый якорь только до уровня воды. Значит, в этом положении момент силы F, с которой матросы действуют на концы ручек ворота, равен моменту силы натяжения цепи, которая, в свою очередь, равна сумме сил тяжести и Архимеда, действующих на якорь. Запишем уравнение моментов:

Здесь ?в и ?я — плотности воды и якоря соответственно.

После удлинения ручек кабестана матросы, прикладывая прежнюю силу F, могут полностью вытащить якорь из воды. Это означает, что для нового ворота при полностью поднятом якоре справедливо уравнение моментов

где R1 — длина новых ручек ворота. Из полученных уравнений легко найти отношение длин ручек нового и старого кабестанов:

Ответ.