1.9. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» ? «треугольник»

Задача 1: В электрических цепях (рис. 1 и 2) сопротивление RAB между зажимами A и B и сопротивление RCD между зажимами C и D равны, а сопротивления резисторов R1, R2 и R3 ? заданы. Найдите все возможные значения сопротивления Rx.

Вначале немного теории:
Рассматриваемый метод основан на том, что сложную схему, имеющую три вывода (узла), можно заменить другой, с тем же числом выводов (узлов). Замену следует произвести так, чтобы сопротивление участка между двумя любыми выводами новой схемы было таким же, как у прежней. В результате получится цепь, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Общее сопротивление обеих цепей будет одинаковым. Однако, поскольку в результате такого преобразования изменяются токи внутри цепи, такую замену можно проводить только в тех случаях, когда не надо находить распределение токов.
Подобные преобразования широко известны для случая двух выводов. Так, например, два резистора сопротивлениями R1 и R2, включенные последовательно (Рис. 1), можно заменить одним резистором сопротивлением

R1 + R2.


Если резисторы включены параллельно (Рис. 2), то их можно заменить одним резистором сопротивлением


И в этих случаях распределение токов в цепи (или в части цепи) претерпевает изменения.
Рассмотрим более сложное преобразование схем, имеющих три вывода (трехполюсников). Иначе это называется преобразованием «звезды» (Рис. 3) в «треугольник» (Рис. 4), и наоборот.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?


Сопротивления резисторов в схеме «звезда» обозначаются с индексом точки, с которой соединен этот резистор, например, резистор r1 соединен с точкой 1. В «треугольнике» индексы резисторов соответствуют точкам, между которыми они включены, например, резистор R13 подключен к точкам 1 и 3.
Как отмечено выше, чтобы заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соотношения между их сопротивлениями, чтобы эквивалентные сопротивления между любыми точками были одинаковы для обеих схем (при условии сохранения числа этих точек).
Так, в «звезде» сопротивление между точками 1 и 2 равно r1 + r2, в «треугольнике»


Следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:


Аналогично для точек 2 и 3 и для точек 1 и 3.


Сложим все эти уравнения и, поделив обе части на 2, получим:


Вычитая из этого уравнения поочередно предыдущие, получим:


Эти выражения легко запомнить:
знаменатель в каждой формуле есть сумма сопротивлений всех резисторов «треугольника», а в числителе дважды повторяется индекс, стоящий слева:


Аналогично получают и формулы обратного преобразования:


Последние выражения также легко запомнить и проверить: числитель у всех уравнений один и тот же, а в знаменателе стоит сопротивление резистора с индексом, которого не достает в левой части выражения.
Этот метод представляет собой наиболее универсальный подход к решению практически всех типов задач на разветвленные цепи.
А теперь приступим к решению задачи:


Наиболее просто сопротивления RAB и RCD можно вычислить, если соединение «треугольником» резисторов R1, R2 и Rx (на рисунках 5 и 6 оно обведено пунктирным контуром) заменить эквивалентным соединением «звездой» (рис. 7 и 8).


На данном этапе мы воздержимся от пересчета «треугольника» в «звезду», а будем считать, что rA, r1 и r2 нами уже найдены. Поскольку RAB = RCD, то и RMB = RND, так как rA соединено последовательно с каждым из них:


Так как в последнем уравнении знаменатели равны, то должны быть равны и числители:

(rx + R3)(r2 + Rx) = (rx + Rx)(r2 + R3).


После раскрытия скобок и приведения подобных членов это уравнение примет вид


Такое равенство возможно в двух случаях:

Rx = R3 ? это один корень уравнения; r1 = r2.

Данное равенство указывает на симметрию соединения «звездой», но симметрия «звезды» возможна только тогда, когда и исходная схема соединения «треугольником» обладает подобной симметрией, то есть когда R1 = Rx ? это второй корень уравнения. Других решений у составленного нами уравнения нет. Следовательно, возможны только два значения Rx:

  Rx = R1 и Rx = R3.


При внимательном анализе схем (рис. 1 и 2) оба решения легко «угадываются», но их единственность не очевидна.

Для закрепления понимания метода решите следующую задачу:
Задача 2: В схеме неуравновешенного моста (рис. 9) определите общее сопротивление цепи между точками А и С, если R1 = 1 Ом, R2 = 1,6 Ом, R3 = 2 Ом, R4 = 1,2 Ом, R5 = 2 Ом.

Подсказка Преобразуйте соединение треугольник в звезду. ответ RAC = 1,5 Ом.

1.10. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

Два правила Кирхгофа представляют собой довольно сложный алгоритм решения задач на нахождение любых характеристик цепи постоянного тока. Причем сложность заключена обычно не в составлении и записи уравнений, а в решении системы большого числа (не менее трех) этих уравнений.
Первое правило Кирхгофа.
Алгебраическая сумма токов в любой точке разветвления проводников (в узле) равна нулю.
Токи, втекающие в узел А цепи (рис. 1),


будем, например, считать положительными, тогда вытекающие из узла токи ? отрицательные; запишем:


Выделим в произвольной цепи произвольный замкнутый контур (рис. 2).


Второе правило Кирхгофа.
Для замкнутого контура сумма произведений сил токов в отдельных участках этого контура на соответствующие сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.
Для контура, изображенного на рис. 2, запишем:


С помощью правил Кирхгофа составляется система линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу неизвестных физических параметров в задачах с разветвленной электрической цепью. Рекомендуем следующий алгоритм:

    выберите направление токов во всех участках разветвленной цепи и отметьте их на чертеже; составьте уравнения по первому правилу Кирхгофа, соблюдая правило знаков: токи, втекающие в узел, ? положительные, вытекающие из узла, ? отрицательные; убедитесь, что число составленных уравнений на единицу меньше числа узлов в цепи; произвольно выберите контур и направление его обхода; каждый новый контур должен содержать хотя бы одну новую ветвь цепи; при обходе контура и составлении уравнения соблюдайте правило знаков: ток противоположного направления обхода берется со знаком «минус»; при записи алгебраической суммы ЭДС следуйте мнемоническому правилу последнего знака: при переходе через источник «ЭДС берется с последним знаком»; проверьте полноту системы полученных уравнений и решите ее; если значение некоторых токов в цепи получилось отрицательным, значит, ток течет в направлении, противоположном обозначенному на схеме. Если же получено отрицательное значение сопротивления, то ответ ошибочный.

Рассмотрим пример.
Задача 1. Определите сопротивление цепи АВ (рис. 3), если R1 = R5 = 1 Ом, R2 = R6 = 2 Ом, R3 = R7 = 3 Ом, R4 = R5 = 4 Ом.


Решение.
В данной цепи, состоящей из восьми резисторов, нет хотя бы двух элементов, соединенных между собой последовательно или параллельно. Кроме того, здесь в отличие от схем, рассмотренных ранее, отсутствует осевая симметрия (она имела бы место, если бы сопротивления всех резисторов были одинаковы). Используем правила Кирхгофа. Для этого предположим, что к зажимам цепи АВ подключен источник постоянного тока (показано пунктиром). Обозначим токи на всех участках цепи и произвольно укажем их направления. Всего их получается 9: I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8, I.
Чтобы избежать громоздких вычислений, связанных с решением системы из девяти уравнений, воспользуемся следующим обстоятельством: из условия задачи видно, что данная цепь обладает центральной симметрией с центром в точке О. Действительно, если, отсоединив цепь в точках А и В от источника, повернуть се в плоскости чертежа вокруг точки О на 180° и снова соединить с источником, то в силу данных в условии равенств она совместится со своим первоначальным положением.
Но теперь в резисторе R5 течет ток, который был раньше в резисторе R1. Перемена же знаков напряжения на зажимах не может вызвать изменения силы тока ни на одном участке цепи. Это означает, что и раньше в резисторах R5 и R1 текли токи одинаковой силы, т. е. I1 = I5.
Аналогично можно показать, что в данной цени должны выполняться равенства: I2 = I6; I3 = I7; I4 = I8.
Таким образом, в задаче фактически имеется лишь пять неизвестных токов: I1, I2, I3, I4, I. Тогда, по первому правилу Кирхгофа, с учетом того, что I2 = I6, I4 = I8 получим соответственно для узлов А, С и D три уравнения:


Легко убедиться проверкой, что аналогичные уравнения, составленные для остальных трех узлов схемы, будут повторением уже имеющихся уравнений, что является следствием осевой симметрии сопротивлений резисторов схемы. Недостающие два уравнения можно получить на основании второго правила Кирхгофа.
Выбрав направление обхода контуров по часовой стрелке, запишем, например, для контуров ACDBEA и АСЕА уравнения:


Подставив в эти уравнения численные значения сопротивлений из условия задачи и учитывая, что I8R8 = I4R4, решим систему из пяти уравнений относительно тока I и получим:


Но так как I = E/R то отсюда следует значение искомого эквивалентного сопротивления: R = 47/14 Ом.
Как было отмечено выше, любая сложная цепь может быть рассчитана с помощью двух правил Кирхгофа. Помимо положительных сторон данного метода необходимо отметить и ряд неудобств, громоздкость вычислений ? основное из них. Так, при решении приведенной задачи расчет был искусственно упрощен за счет симметричности данных и осевой симметрии схемы относительно точки О. Кроме того, не приведен полный расчет системы полученных уравнений, а дан лишь конечный результат. Если бы в условии задачи все резисторы имели бы разные величины, то пришлось бы решать систему из девяти уравнений с девятью неизвестными, что само по себе весьма неудобно.

Задача 2. В цепи E1 = 4 B, E2 = 3 B, r1 = 2 Ом, r2 = 1 Ом, R = 10 Ом (рис.). Найдите силу тока в резисторе R.

Решение:
Воспользуемся правилами Кирхгофа. Для их применения необходимо знать направление токов в каждом участке цепи.
Возможны два варианта: или ток течет слева направо или, наоборот, справа налево. Надо определиться, допустим, направление тока такое как показано на рисунке.
По первому правилу Кирхгофа (для узла А) I1 = I2 + Ix.
По второму правилу Кирхгофа (для замкнутых контуров AE1BA и ABE2A), выбрав за положительное направление обход контуров против хода часовой стрелки, получим


Из системы записанных уравнений найдем ток

 
Знак минус в полученном результате означает, что сделанное предположение о направлении тока Ix в резисторе R оказалось неверным. Ток в резисторе течет не слева направо, а в обратном направлении. Сила этого тока 1/16 A.

Задача 3. Дана цепь (рис. 6). Составьте основные уравнения для данной цепи.

 

Задача 4. Три источника тока с ЭДС Е1 = 11 В, Е2 = 4 В и Е3 = 6 В и три резистора с сопротивлением R1 = 5 Ом, R2 = 10 Ом и R3 = 2 Ом соединены, как показано на рисунке 7. Определите силы токов I в резисторах. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.

Ответ 0,8 А; 0,3 А; 0,5 А.