2.2 Базовые понятия теории вероятности и статистики
2.2.1 Вопросы для обсуждения:
Приведите примеры случайных событий в экономике. Можно ли дать им вероятностное описание? Какой вид вероятности при этом используется? Приведите примеры совместных и несовместных событий. Дайте возможные определения вероятности. Приведите примеры их использования. Что такое относительная частота события, как она связана с вероятностью? В чем суть метода экспертных оценок определения вероятности? Приведите соответствующий пример. Что такое случайная величина (СВ)? Какие виды СВ известны? Приведите примеры дискретных и непрерывных СВ из экономики. Перечислите основные числовые характеристики СВ. Как они вычисляются для дискретных и непрерывных СВ? Что такое функция распределения СВ? Приведите ее свойства. Каким образом может быть задана СВ? Перечислите свойства ковариации. Приведите свойства коэффициента корреляции.2.2.2 Пример решения задач. На основе многолетних наблюдений за реультатами инвестиций в две компании был построен закон распределения СВ X и У – размеров годовых дивидендов (в процентах) от вложений в данные отрасли. Закон представлен таблицей 1. Необходимо определить маргинальные законы распределений каждой из СВ, установить наличие зависимости между ними. Вычислить ковариацию и коэффициент корреляции, а также решить, что менее рискованно: вкладывать деньги в одну из этих отраслей либо одновременно в обе в равных пропорциях.
Таблица 1 - Закон распределения СВ X и У
Y X | -10 | 5 | 10 | PX |
-10 20 PY | 0,05 0,15 0,20 | 0,25 0,20 0,45 | 0,30 0,05 0,35 | 0,6 0,4 |
В средней части таблицы 1 приведены совместные вероятности Р(х, у) двух СВ. Например, Р(Х = 20, Y = 5) = Р(20,5) = р22 = 0,2. В правом столбце и нижней строке приведены вероятности СВ X и Y соответственно. Например, Р(Х = –10) = РX( –10) = 0,6. Условная вероятность Р(х|у) определяется по столбцам таблицы, а условная вероятность Р(у|х)n – по строкам. Например, Р(20|Y = 5) = Р(Х = 20, Y = 5) /Р(Y = 5) = 0,2/0,45 = 0,444.
Законы распределения СВ X и Y представлены следующими таблицами:
X | – 10 | 20 | Y | – 10 | 5 | 10 |
Рx, | 0,6 | 0,4 | Py | 0,20 | 0,45 | 0,35 |
Так как Р(х, у) ? Р(х) • Р(у) (например, Р( X=20, Y=10) = 0,05?0,4 • 0,35 = 0,14 = Р(Х = 20) • Р(Y = 10)), то можно сделать вывод, что указанные СВ не являются независимыми. По построенным законам распределений определим числовые характеристики СВ X и У:
М(Х) = -10•C0,6 + 20•0,4 = 2; М(Y) = -10•0,2 + 5•0,45 + 10•0,3 = 3,5;
D(X) = М(Х2) - М2(Х) = 100•0,6 + 400•0,4 - 4 = 216;
D(Y) = M(Y2) – M2(Y) = 100•0,2 + 25•0,45 + 100•0,35 - (3,25)2 = 55,6875;
?х v216 ? 14,7; ?у = v55,6875 = 7,46.
Найдем их ковариацию и коэффициент корреляции.
2 3
?ху = M(XY) – М(Х)М(Y) = ? ?xiyjpij - M(X)M(Y) =
i=1 j=1
= -10 • (-10) • 0,05 + (-10) • 5 • 0,25 + (-10) • 10 • 0,3 + 20 • (-10) • 0,15 + 20 • 5 • 0,2 + 20 • 10 • 0,05 - (- 10 • 0,6 + 20 • 0,4) • (-10 • 0,2 + 5 • 0,45 + 10 • 0,3) = -44.
Таким образом, можно сказать, что между X и Y существует не очень сильная отрицательная линейная зависимость. Риски от вложения в акции компаний можно определять по разбросу значений их дивидендов, т. е. по дисперсиям СВ. Следовательно, можно сделать вывод, что вложение в первую компанию более рискованно, чем во вторую (D(X) = 216 > 55,6875 = D(Y)).
Обозначим через Z дивиденды от вложения денег в равных пропорциях (50:50) в обе отрасли. Следовательно, Z = 0,5Х + 0,5Y. Тогда
M(Z) = М(0,5Х + 0,5Y) = 0,5(М(Х) + M(Y)) = 0,5(2 + 3,25) = 2,625;
D(Z) = D(0,5X + 0,5Y) = 0,25(D(X) + D(Y) + 2?xy • ?x•?y) =
= 0,25(216 + 55,6875 + 2•(- 0,4) • 14,7 • 7,46) ? 45,989.
Поскольку D(Z) = 45,989 < 55,6875 = D(Y), то есть основание считать, что одновременное вложение в обе отрасли в равных пропорциях является наименее рискованным из трех рассмотренных вариантов инвестиций.
2.2.3 Задачи и упражнения для самостоятельного решения.
1) Среди покупателей-мужчин 80% предпочитают напитки фирмы А, а среди покупателей-женщин эти же напитки предпочитают 50%. На основе многомесячных наблюдений установлено, что доля покупателей-женщин в данном магазине составляет 60%. Оцените вероятность того, что случайный покупатель предпочтет напитки фирмы А.
2) Семь из десяти посетителей кафе заказывают к кофе фирменное пирожное. Два человека заказывают кофе. Какова вероятность того, что они закажут: а) два пирожных; б) одно пирожное; в) ни одного?
3) Среди 10 000 лотерейных билетов 10 % являются выигрышными.
Определите:
а) вероятность выигрыша при покупке 5 билетов;.
б) количество билетов, которое необходимо приобрести, чтобы выиграть с вероятностью не менее 0,9;
в) что вероятнее: выиграть или не выиграть при покупке 7 билетов?
4) Следующая таблица представляет распределение годовой прибыли (X) фирмы:
X | -10 | -5 | 0 | 10 | 20 | 25 |
Р | 0,05 | 0,15 | 0,25 | 0,30 | 0,20 | 0,05 |
Необходимо определить ожидаемую прибыль, среднее квадратическое отклонение. Определить вероятность положительной прибыли.
5) Следующая таблица представляет совместный закон распределения двух СВ X и У — отдачи (в %) за первый год от инвестиций в отрасли А и В соответственно:
Y X | -10 | 0 | 10 | 15 |
0 | 0,00 | 0,15 | 0,10 | 0,20 |
10 | 0,02 | 0,05 | 0,05 | 0,08 |
20 | 0,25 | 0,10 | 0,00 | 0,00 |
а) Рассчитайте ожидаемые процентные отдачи от вложений только в одну из отраслей.
б) Являются ли данные отдачи независимыми СВ?
в) Какое из вложений менее предсказуемо?
г) Какое из вложений вы бы избрали?
2.2.4 Литература:[1], [2], [3], [4], [5], [6], [10], [11], [18].
