ГБОУ Школа 1381
Задачи на построение сечений
Авторы проекта:
Гуцалюк Анастасия11а
Доморникова Анастасия11а
Руководитель проекта:
учитель математики высшей категории
МОСКВА,2017-18
Оглавление
Введение..............................................................................................................2 Глава 1 Что такое тетраэдр, как решать задачи обычным методом...........3-4 Тетраэдр, сечение, секущая плоскость.........................................................3 Как решать задачи стандартным способом?................................................3 Задача 1............................................................................................................4 Задача 2............................................................................................................4 Выводы по главе 1..........................................................................................4 Глава 2. Решение задач с помощью модели тетраэдра...............................5-6 Применение способа создания модели........................................................5 Подготовка фильма........................................................................................5 Выводы по главе 2 .........................................................................................6 Выводы и заключение........................................................................................6 Источники...........................................................................................................7
Введение.
Построение сечений - неотъемлемая часть школьной программы. У многих учеников возникают проблемы с развитием пространственного мышления, поэтому нахождение более наглядных способов решения актуальны для учеников 10-11 классов. Таким образом мы обозначили главную цель работы: найти эффективные способы изучения школьного материала. Найденный нами способ - создание трехмерной модели и решение задач с ее помощь. Главные задачи нашей работы:
1.Решить ряд задач различными способами.
2.Найти способ донесения материала в более легкой форме.
3.Поверить, упрощает ли создание моделей учебный процесс.
4.Показать, что математика наука, предполагающая творческий подход.
Гипотеза: Если рассматривать задачу в трехмерном пространстве, то облегчит ли это учебный процесс.
Изучаемым стереометрическим объектом стал тетраэдр. Тетраэдр - первый стереометрический объект с которым знакомятся ученики, поэтому мы решили использовать этот многогранник.
Таким образом мы нашли новый метод решения задач по стереометрии на построение сечений - создание модели. а так же создали видеооролик, демонстрирующий использование метода на практике.
План работы
Познакомиться с математическими определениями. Решить ряд задач, связанных с сечением, стандартным способом. Решить задачу с помощью создания модели. Создать чертеж будущей модели. .Изготовить тетраэдр. Произвести сечение, решить задачу. Создать фильм, показывающий решение задачи. Сделать выводы. Подвести итоги.Глава 1.
Что такое тетраэдр, как решать задачи обычным методом.
Тетраэдр, сечение, секущая плоскость.
Тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, треугольная пирамида. Секущей плоскостью многогранника является та плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника. Сечение – это изображение в виде плоской фигуры, получающейся при мысленном расчленении предмета плоскостью (несколькими плоскостями). Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырех угольники.
Как решать задачи стандартным способом?
Рассмотрим несколько стандартных задач разного уровня сложности. Общие условия для задач: А, B, C, D – вершины тетраэдра.
AB, AC, AD, BD, CD, BC - ребра, ABC, ABD, ADC, BDC, – грани. Плоскость АВС - основание тетраэдра, точка D является вершиной тетраэдра. Ребра являются пересечением двух плоскостей. Вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей, таких вершин в тетраэдре четыре.
Задача 1.
Дано: Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD.
Задание: Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое параллельно основанию АВС и проходит через точку М, принадлежащую плоскости ABD.
Решение: Секущая плоскость параллельна плоскости АВС, следовательно, эта плоскость должна быть параллельна прямым АВ, АС, ВС.
В плоскости АВD через точку М, данную по условию, начертим прямую PQ параллельно АВ. Прямая PQ принадлежит плоскости АВD. В плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Прямые PQ and PR задают плоскость, которая параллельна основанию тетраэдра, т. к. PQ II AB, PR II AC. РQR – искомое сечение.
Что и требовалось построить.
Задача 2
Дано: Тетраэдр ABCD, точка D принадлежит ребру AB, E принадлежит AB, K лежит на грани SC.
Решение: Точки D и E лежат на одном ребре, соединим DE, аналогично строим отрезки DM и EK. Достраиваем плоскости ASK и ABC, продлеваем Аналогично, как и в первой задаче, строим сечение.
Что и требовалось построить.
Выводы по Главе 1.
- Построение сечений нелегкая задача, вызывающая ряд затруднений у учеников. При решении сложно «представить» сечение При построении можно допустить ошибку.
Глава 2.
Решение задач с помощью модели тетраэдра.
Применение способа создания модели.
Ученикам было предложено решить задачу без построения чертежа.
Задача 3
Дано: тетраэдр ABCD, точка P, лежащая на ребре DC, точка N на ребре DB, точка M на ребре AB. Точки M, N, P не лежат на одной прямой, и прямая PN не параллельна BC.
Построить: сечение плоскостью (PNM) тетраэдра ABCD.
В эксперименте принимали участие учащиеся 10-11 классов. Для решения данной задачи было необходимо создать модель тетраэдра, проявив свои творческие идеи. Работы были выполнены из самых различных материалов: из пластелина, проволоки и даже из магнитного конструктора. Далее, ученикам было необходимо рассечь модель и сфотографировать модель до сечения и после. Эксперимент показал положительные результаты. Действительно, количество ошибок уменьшилось, ученики стали лучше понимать свойства тетраэдра и его сечений.
Подготовка фильма.
Мы изготовили модель из бумаги, этот материал оказался наиболее подходящим. Для создания модели необходим чертеж развертка тетраэдра. Тетраэдр состоит из четырех треугольников. Мы вырезали наш чертеж и сложили объект. Модель готова. Можно приступить к решению задачи. В качестве секущей плоскости выступал канцелярский нож. Мы наметили на модели точки, данные по условию, где будет проходить плоскость, взяли нож и рассекли тетраэдр. Параллельно всем действиям мы делали снимки. Сечение готово. Что и требовалось построить.
Данный процесс мы запечатлели на фотографиях. Эти фотографии мы объединили в фильм. Получился мини-фильм в технике стоп-моушн, наглядно демонстрирующий ход работы. Этот видеоролик является продуктом нашей проделанной ранее работы. Видеоролик размещен на открытом видеохостинге YouTube, ссылка: https://youtu. be/G7DJEmxIDRY
Выводы по Главе 2
- Построение модели позволяет проявить творческие способности. Ученики, создавая модель, стали лучше понимать тетраэдр и его свойства. Возможность допущения ошибки снижается.
Выводы из всей работы
- Математика дает возможность проявлять творческие способности. Трехмерные модели улучшают понимание материала. По сравнению с двухмерным пространством, шанс допустить ошибку в сечении снижается. При сечении тетраэдра можно получить новый тетраэдр и усеченную призму. В сечении можно получить треугольник.
Заключение
Наш проект дает возможность повторить ранее изученный на уроках геометрии материал, благодаря легкой форме это не составит труда. Главный принцип создания модели - наглядность, поэтому фильм - наиболее оптимальный способ воплощения нашей идеи. Фильм способен разбудить интерес к более подробному изучению стереометрии.
Источники
1. , . – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)
2. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений
https://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80
https://infourok. ru/postroenie-secheniy-v-tetraedre-672832.html
http://festival.1september. ru/articles/313664/
http://i1.offers. gallery/vertical/1200x630/wp-content/uploads/2016/06/Depositphotos_26086851_l-2015.jpg
http://www. r19.ru/upload/medialibrary/4bb/cms_image_000037557.jpg
http://mnogograns. narod. ru/img/m2.jpg
