Задача, связанная с интегрированием

Задача, связанная с интегрированием.

Определение сил, действующих в узлах, при приложении неравномерной распределенной нагрузки

К торцу пластины приложена неравномерно распределенная нагрузка ( давление), имеющая достаточно сложный характер.

Размерность нагрузки q[Н/см2]. Толщина пластины 1см.

Будем считать, что нагруженная сторона пластины параллельна оси Х.

Нагрузка задана функцией, например, q(х)= ?(Sin(?х)), где х изменяется от 0 на одном конце нагруженной стороны до L  другого конца нагруженной стороны.

Суммарная сила от указанной нагрузки подсчитывается как

.

По нагруженной стороне пластины расположены узлы. Расположение узлов может быть любым. Количество – тоже.

Необходимо распределить суммарную силу от действующей распределенной нагрузки по узлам.

При этом необходимо, чтобы силы, приложенные в узлах, создавали в целом такое же эквивалентное воздействие, что и теоретическая распределённая нагрузка. Понятно, что непрерывно-распределенная нагрузка отличается от дискретно-распределенной нагрузки.

Основная сложность - это обоснование алгоритма, распределяющего эту нагрузку по узлам.

Существует много подходов к  распределению сил от неравномерной нагрузки по узлам и, в частности, исходят из следующего принципа: узловые силы эквивалентны внешним распределённым нагрузкам, если имеет место равенство их работ на возможных перемещениях.

Простейшее соблюдение этого принципа приводит к следующей схеме – к узлу прикладывается сила, равная интегралу от функции нагрузки в пределах от середин расстояний от данного узла до двух соседних нагруженных узлов, если все три узла лежат на одной прямой. В том случае, если данный узел имеет только один соседний нагруженный (нагрузка распространяется только до данного узла), то сила, приходящаяся на данный узел равна интегралу от функции нагрузки в пределах от данного узла до  середины расстояния до другого соседнего нагруженного узла.

Графически это можно представить заштрихованными площадями для узла, имеющего два соседних нагруженных узла, и для узла, имеющего только один соседний нагруженный узел.

       

       

Для вычисления площадей применяют методы приближённого вычисления интегралов, основанные на замене интеграла конечной суммой. Для вычисления  промежуток от до разбивается на равных частей, и для точек деления вычисляются значения интегрируемой функции . Затем пользуются одной из трёх формул, полагая :

1) Формула прямоугольников:

2. Формула трапеций:

Формула парабол (Симпсона): 

Все три формулы тем точнее, чем больше . При одних и тех же вторая формула точнее первой, третья – ещё точнее и поэтому наиболее употребительна.

При выполнении данного задания следует пользоваться формулой трапеций.

Следует только учесть, что надо вычислять площади с одной и той же степенью точности вне зависимости от длины расстояния между узлами. Так как все эти методы предполагают деление интервала интегрирования на частей, рекомендуется установить это число частей изначально достаточно большим и равным, допустим, 100.

Задание.

Согласно своему варианту использовать в качестве нагрузки функцию и узлы, приведенные в материале на сайте в разделе: «Задание к теме 3. Интерполирование и аппроксимация». При этом принять q(x) = Y(x). Принять за длину длину стороны пластины L максимальное расстояние (интервал) между заданными значениями точек по оси Х. С помощью программы Agrapher нарисовать функцию на полученном выше интервале, определить и продемонстрировать нули функции и подсчитать суммарную силу , действующую на пластину.

  При наличии нуля функции на получившимся интервале (смены знака

  функции) использовать абсолютное значение функции, поставив перед

  формулой abs.

Составить программу (на любом языке программирования, но окончательную на Фортране) для определения сил в заданных точках. Сумма сил должна равняться суммарной силе, действующей на пластину.

При этом:

а) ввод точек (координат узлов) организовать с клавиатуры. При этом предусмотреть ввод числа точек до 10;

б) для подсчета силы в узле каждый интервал [0; ] , [ ;] и []  делить на одинаковое число (100) частей;

в) организовать вывод сил, подсчитанных в узлах;

г) тестовый вариант программы должен быть реализован для заданных значений х1; х2; х3; х4;

д) прием программы (помимо письменного отчета) будет осуществляться на компьютере с объяснениями студента.

Шрифт отчета Times New Roman  кегль 14

Межстрочный интервал - одинарный

Формулы писать математическим шрифтом кегль 12