1.6. Метод разделения узлов
Метод разделения узлов схемы является логическим продолжением двух предыдущих и основан на том, что, если возможно объединение двух равнопотенциальных узлов, то возможен и обратный переход: узел схемы можно разделить на два или несколько узлов, если получившиеся при этом узлы имеют прежние одинаковые потенциалы. Обязательным условием при этом является проверка равенства потенциалов получившихся при разделении узлов.
Задача 1. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис.) сопротивлением R каждый.
Решение.
Разделим узел О на два узла. Очевидно, что потенциалы получившихся узлов О/ и О// не равны (рис. а),
а узлов О1 и О2 − равны (рис. б).
Значит верное разделение узла О показано на рис. б. Сопротивление получившейся эквивалентной схемы (рис. в) легко найти − оно равно 3R/2.
Задача 2. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. а) сопротивлением R каждый.
Решение.
Узел О схемы можно разделить на несколько узлов разными способами. Варианты разделения, показанные на рис. б, в, г − неверны, т. к. потенциалы получившихся узлов О/, О// и О/// не будут одинаковыми.
Верный вариант показан на рис. д,
получившаяся схема симметрична относительно оси АВ, а потенциалы точек O1, O2 и О3 одинаковы и равны половине разности потенциалов между точками А и В. В результате этого преобразования искомое сопротивление легко находится с помощью поэтапного расчета (рис. е)
и равно 4R/5.
1.7. Метод расщепления ветвей
Метод расщепления ветвей позволяет достаточно просто решать задачи, которые имели бы очень громоздкое решение, если прямо пользоваться уравнениями Кирхгофа. Метод основан на том, что, если возможна замена нескольких резисторов одним, то совершенно правомочна и обратная замена. Например, один резистор можно заменить двумя одинаковыми, параллельно соединенными резисторами, сопротивления которых в два раза больше сопротивления заменяемого резистора. Обычно такая замена возможна в симметричных цепях и предполагает затем применение метода разделения узлов. После преобразования получается симметричная относительно «оси» схема, сопротивление которой найти проще.
Задача 1. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. а) сопротивлением R каждый.
Решение. Заменим резистор ОС сопротивлением R двумя параллельными резисторами по 2R каждый. Общее сопротивление цепи от этого не изменится. На основании предыдущего метода разобьем узел С на два узла: С/ и С// (рис. б).
Получившаяся схема симметрична относительно оси АО, следовательно узлы С/ и С// имеют одинаковые потенциалы. Это означает, что разделение узла С произведено корректно. В итоге получилась схема, состоящая только из параллельных и последовательных резисторов (рис. в, г).
После несложных расчетов получим значение общего сопротивления: 7R/15.
Задача 2. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. а) сопротивлением R каждый.
Решение. Заменим резистор ОВ сопротивлением R, двумя параллельными резисторами по 2R каждый (рис. б).
Общее сопротивление цепи от этого не изменится.
Далее разобьем узел О на два узла: О/ и О// − так, чтобы схема осталась симметричной относительно оси АВ («входа» − «выхода»). Получившаяся схема (рис. в)
действительно симметрична относительно оси АВ, следовательно узлы О/ и О// имеют одинаковые потенциалы. Это означает, что разделение узла О было проведено корректно, и общее сопротивление цепи осталось без изменения.
Представим схему в несколько ином виде, удобном для дальнейшего решения задачи (рис. г).
Видно, что точки О/ и С, а также О// и D имеют одинаковые потенциалы. Выбросим из дальнейшего рассмотрения пассивные элементы схемы О/С и O//D. В итоге получается схема, состоящая только из параллельных и последовательных резисторов (рис. г), общее сопротивление которых легко найти − оно равно 5R/4.
1.8. Расчет эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей
Особую группу образуют задачи на расчет эквивалентных сопротивлений бесконечных цепей. Как правило, эти цепи симметричны и во многих случаях содержат одинаковые элементы (резисторы). Рассматриваемые задачи можно разбить на три группы:
а) линейные (одномерные);
б) плоскостные (двумерные);
в) объемные (трехмерные).
Эвристические приемы решения подобных задач просты и достаточно оригинальны. Причем последние два типа задач решаются только с помощью искусственного приема, содержание которого будет рассмотрено ниже.
Найдем эквивалентное сопротивление типичной линейной бесконечной цепи резисторов, состоящей из повторяющихся элементов (секций), в типичной задаче.
Задача 1. Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.
Решение (типовое, алгоритм).
Для нахождения эквивалентного сопротивления цепи необходимо выделить общую секцию, которая бесконечно повторяется. Вполне очевидно, что если отделить ее от цепи, то общее сопротивление этой цепи не изменится, т. к. число элементов (секций) бесконечно. В силу вышесказанного, выделив повторяющуюся секцию в цепи и заменив сопротивление, остальной цепи искомым сопротивлением Rх, получим эквивалентную схему (рис.).
Найдем сопротивление цепи, предварительно записав выражение для Rх через Rx. Опуская промежуточные выкладки, получим:
или
откуда получим ответ:
Задача 2. Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.
Решение.
Применим точно такой же прием, но с другой повторяющейся секцией (рис.).
После аналогичных расчетов получим:
Отсюда легко записать ответ:
Задача 3. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.
Решение.
Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению двух одинаковых и параллельно соединенных резисторов, сопротивления которых равны (см. решения задач 1 и 2): справа
и слева
Тогда после простых расчетов легко получить ответ:
Задача 4. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.
Решение.
Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению двух одинаковых и параллельно соединенных резисторов сопротивлением
каждый (см. решение задачи 2).
Отсюда легко получить ответ:
Задача 5. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.
Решение.
Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению четырех резисторов, соединенных между собой в цепь, которая изображена на рисунке.
Сопротивление
(см. решения задач 1 и 2). Отсюда искомое эквивалентное сопротивление цепи между точками А и В:
Задача 6. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых проволочных резисторов сопротивлением R каждый.
Решение. Эквивалентная схема представлена на рисунке.
Повторяющаяся секция состоит из четырех резисторов. Полное сопротивление цепи находим, полагая RAB = Rх.
Опуская промежуточные выкладки, получим
или
откуда следует, что
Второй корень уравнения отрицательный и не имеет смысла. Окончательный результат:
Рассмотрим более трудную задачу, решение которой предполагает предварительное использование метода исключения пассивных элементов цепи.
Задача 7. Найти эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис. а), которая состоит из одинаковых проволочных резисторов сопротивлением R каждый.
Решение.
Чтобы найти эквивалентное сопротивление цепи, необходимо сначала выделить общую секцию, которая бесконечно повторяется. Понятно, что если отделить ее от цепи, то общее сопротивление этой цепи не изменится. Выделить повторяющуюся секцию в рассматриваемой цепи можно, но заменить сопротивление остальной части цепи искомым сопротивлением Rх нельзя, т. к. оставшаяся часть имеет четыре соединительных провода.
Если посмотрим на каркас слева, то получим изображение цепи в перспективе, приведенное на рисунке б.
Из симметрии этого рисунка видно, что потенциалы точек, обозначенных цифрой 1, одинаковы и равны потенциалам точек, обозначенных цифрой 2.
Исключим из рассмотрения пассивные резисторы, соединяющие точки 1 и 2 (рис. в).
Между точками С и D (рис. в) находится фигура, эквивалентное сопротивление которой равно искомому, т. к. цепь бесконечна.
Обозначим искомое сопротивление через Rх (рис. г)
и получим (аналогично решению задачи 1)
или
откуда следует, что
Второй корень уравнения отрицательный и не имеет смысла. Окончательный результат:
