Раздел 4 | Транспорт. Строительство |
УДК 531(07)+531:004(07)
Метод конечных элементов для расчета тонкостенных конструкций |
С. К. АХМЕДИЕВ, к. т.н., профессор, |
Ключевые слова: элемент, пластина, напряженно-деформированное состояние, уравнение, изгиб, матрица, жесткость, элемент, прогиб, система, условие, кромка.
Д
ля анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) машин, зданий и сооружений, их конструкций узлов и деталей, работающих в условиях реальных статических и динамических воздействий, применяются различные численные методы расчета конструкций, такие как метод конечных элементов (МКЭ).
Возникающий при этом большой объем вычислений закрывается применением численных методов и специализированных программных средств.
В данной работе предлагается для расчета изотропных и ортотропных тонкостенных конструкций (пластин) на изгиб численный метод конечных элементов в рамках технической теории Кирхгофа.
Изгиб ортотропных пластин описывается известным дифференциальным уравнением [1]:
(1)
где P(x, y) – интенсивность поперечной распределенной по поверхности нагрузки;
W = W(x, y) – функция прогибов;
h – толщина пластины.
Жесткостные характеристики ортотропии материала имеют вид:
(2)
где vx, vy – коэффициенты Пуассона в направлениях ортотропии;
Ex, Ey, G – модули упругости вдоль осей х, у, а также модуль сдвига материала пластины.
В случае изотропной пластины (з1 = 1, з2 = 1) вместо (1) получим известное уравнение Софи-Жермен-Лапласа:
(3)
где D – цилиндрическая жесткость изотропной пластины имеет вид:
(4)
Уравнения (1, 3) должны сопровождаться краевыми (граничными) условиями в виде:
а) для защемленных кромок пластины
(5)
б) для свободно опертых кромок
(6)
где n – нормаль к соответствующей кромке пластины.
Реализуем уравнения (1, 3) совместно с условиями (5, 6) численным методом конечных элементов (МКЭ) [1-9].
Для расчета треугольных в плане пластин наиболее приемлемым является треугольный конечный элемент «BCIZ» с 9-ю степенями свободы [9] (рисунок 1).
Вектор узловых перемещений в этом случае имеет вид
(7)
Связи между усилиями и перемещениями конечного элемента, записанные в матричной форме, имеют вид:
(8)
где 
– вектор узловых усилий; ke – матрица жесткости треугольного конечного элемента, получена на основе стандартной процедуры МКЭ [1-9].
Элементы матрицы ke зависят от геометрических и жесткостных характеристик заданной пластины (в том числе и от параметров α, β, a рисунка 1) и приведены в [9]:
(9)
Матрица жесткости системы, сформированная на основе матриц жесткости отдельных элементов, позволяет определить вектор неизвестных узловых перемещений основной системы МКЭ, т. е.
(10)
где K(nЧn) – квадратная симметричная матрица жесткости системы (n – число расчетных узлов основной системы МКЭ);
– вектор неизвестных узловых перемещений основной системы;
– вектор свободных членов, учитывающий действующую нагрузку, создающую изгибное состояние пластины. По (10) имеем:
(11)
где 
– обратная матрица.
Рисунок 1 – Треугольный конечный элемент
Основная система МКЭ принимается согласно известной процедуре [1-9] путем введения дополнительных связей, препятствующих возможным узловым перемещениям и углам поворота (т. е. вводятся фиктивные защемления и фиктивные опоры, рисунок 2).
Рисунок 2 – i-й узел основной системы
где i – номер расчетного узла;
Wi – искомый прогиб;
Wxi – угол поворота относительно оси «х»;
Wyi – то же, относительно оси «у».
В качестве иллюстрируемого примера приведена нумерация расчетных узлов и конечных элементов (рисунок 3) треугольной пластины произвольной формы и размеров в плане (при делении сторон пластины на четыре части), закрепленной по контуру.
На основе вышеизложенной методики получены результаты расчета треугольных пластин. На рисунке 4 указаны расчетные точки (i = 1ч6) на поверхности треугольных пластин, для которых получены и приведены значения прогибов (Wi) и изгибающие моменты (Mxi, Myi).
Рисунок 3 – Пример нумерации элементов
и расчетных узлов
Расчетные точки (1ч6) находятся на серединах медиан сторон треугольника m1, m2, m3, а также на середине кромки АС, при этом: значения (α, β, a) – задаются по условию задачи, H = a·c; b = H/tgα = ac/tgα; d = H / tgβ = ac / tgβ; 
Рисунок 4 – Расчетные точки на поверхности
пластины
На рисунке 5 приведены варианты граничных условий на кромках пластины.
Рисунок 5 – Граничные условия на кромках пластины
На рисунке 6 даны значения прогибов Wi (i = 1, 2, 3, 4) для изотропных треугольных пластин постоянной толщины при (β = 45°) в зависимости от изменения угла α = 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, при граничных условиях Б, В, Г.
Рисунок 6 – Прогибы Wi треугольных пластин
постоянной пластины
На рисунках 7, 8 для таких же пластин при тех же условиях даны значения Mxi, Myi, (i = 1ч6).
Анализируя рисунки 6-8, нужно отметить следующее:
– при возрастании значения угла α величины прогибов стабильно возрастают (рисунок 6);
– значения Mxi, Myi также стабильно возрастают как на положительных, так и на отрицательных величинах (рисунки 7, 8).
– полученные сравнительные результаты в данной работе хорошо согласуются с известными в научной литературе [1, 5-8].
Таким образом, впервые на основе численного метода получены результаты исследования для треугольных пластин матричной формы (при α ≠ β), разработан алгоритм автоматизированного расчета треугольных пластин или любых значений числа делений сторон пластин.
Рисунок 7 – Моменты Mxi (β = 45°)
Рисунок 8 – Моменты Myi (β = 45°)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. , Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. 212 с.
2. , , Вычислительная механика. Караганда: КарГТУ, 2004. 102 с.
3. , , Курсовое проектирование по вычислительной механике: Учебное пособие. Караганда: КарГТУ, 2008. 51 с.
4. етод конечных элементов. М.: Наука, 1975.
5. и др. Численные методы решения задач строительной механики: Справочное пособие. М.: Высшая школа,1990.
6. Численные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1981.
7. Расчет строительных конструкций численными методами: Учебное пособие. Л.: ЛГУ, 1987.
8. Справочник по теории упругости / Под ред. , Киев, 1971.
9. Простейшие треугольные конечные элементы тонких пластин, рассчитываемых по теории Кирхгофа // Вестник МВТУ. 2001. № 2. 23 с.
