Оптимизация в условиях устойчивости стержней

4. Оптимизация в условиях устойчивости стержней

Задание и исходные данные

Задача

Нам дана консольно-защемленная балка (Рис. 4.1). Балка имеет круглое сечение заданной площади поперечного сечения. Нам известны прочностные характеристики трех материалов (Табл. 4.1), из которых может быть изготовлен стержень. Стержень может состоять из 1, 2х или трех материалов. Требуется подобрать такое сочетание материалов, чтобы конструкция имела наименьший вес и стоимость и при этом оставалась устойчива.

Исходные данные

Исходная расчетная схема (Рис. 4.1), консольно защемленная балка:

Далее выбераем три материала и данные сводим в единую таблицу (Табл. 4.1):

                               Таблица 4.1

Характеристика и стоимость материалов

Название материала	, кг\ м3	Е, ГПа	, Мпа	, МПа		Стоимость, $/ кг
Сплав А36						1.2
Нержавеющая сталь 405						10
Магний AZ 98 D						3.4

Так же имеем исходные геометрические размеры конструкции:

Во время сжатия, по мере нарастания силы P, стержень остается прямой. Потеря устойчивости может происходить как в пределах упругой зоны, так и за её пределами (упругая/не упругая потеря устойчивости), при этом сила достигает критического значения . В рамках достижения мы не разделяем конструкцию на многоразовую и одноразовую, потому что её уже нельзя применять. Задача оптимизации состоит в том, чтобы повысить пороговое значение . Рассматриваем случай, когда структура стержня симметрична относительно 2х осей.

4.2 Решение задачи

4.2.1 Решение задачи для эталонной конструкции

Определим максимально возможную нагрузку, которую можно приложить к эталонной конструкции при учете пластических деформаций.

Уравнение равновесия деформированного стержня выглядит так:

                                       (4.1)

где -продольные усилия в стержне.

Считаем, что материалы являются линейно-упругими и подчиняются закону деформирования:

                                                       (4.2)

Запишем закон Кирхгофа в общем виде:

                                               (4.3)

Распишем выражения для момента и усилий в стержне:

Далее группируем слогаемые при и учитывая что они не зависят от :

,                                        (4.4)

где

Далее группируем слогаемые при и учитывая что они не зависят от :

,                                        (4.5)

где

В силу симметрии коэффициенты и в выражениях (4.4), (4.5) занулятся. И выражения примут вид:

                                               (4.6)

- функция, которая ограничивает площадь, занимаемую i-ым материалом в одной четверти материала. Они выглядят следующим образом:

                                       (4.8)

Мы знаем, что в нашей задаче имеет место:

                                               (4.9)

Кривизна выражается через функцию прогиба следующим образом:

Таким образом, (4.1) принимает вид:

                                       (4.10)

Введем безразмерный множитель и получим характирестическое ууравнение:

                                       (4.11)

Интегрируем и находим:

                               (4.12)

Найдем константы интегрирования из граничных условий:

               (4.13)

Явление потери устойчивости может наблюдаться, как в упрогой, так и в пластической зоне, поэтому мы будем рассматривать два случая: упругую и неупругую задачу устойчивости.

Расчитаем площадь сечения стержня, учитывая что стержень состоит из одного материала:

Нужно помнить, что критическая сила делиться на критическую силу при потере устойчивости и на критическую силу при превышении предела текучести:

                               (4.14)

Из двух полученных усилий выбираем минимальное значение , которое и будет определять несущую способность конструкции.

Далее расчитываем вес и стоимость эталонной конструкции:

4.2.2. Оптимизация конструкции упругой задачи

Решаем упругую задачу. Для оптимизации конструкции нам надо подобрать площадь составляющих материалов в сечение таким образом, чтобы в итоге конструкция имела наименьший вес и стоимость, но при этом сохраняла несущую способность, как у эталона . При этом нам известны характеристики материала (Табл. 2.1) и форма сечения. Надо определить радиусы каждого составляющего слоя. 1 слой – сплав А36, 2 – нержавеющая сталь 405, 3 - магний AZ 98 D. Для решения используем уравнение:

                       (4.15)

Далее решаем задачу минимизируя функцию по весу. В ходе решения мы получили следующие значения для радиусов:

Для данного сочетания материалов с полученными площадами, вес и стоимость конструкции по известным формулам получились равны:

А вес отнесенный к эталонному и стоимость отнесенная к эталонной:

И далее полученные значения сведем в таблицу (Табл. 4.2)

4.3. Представление результатов

Таблица 4.2

Сводка итоговых значений веса, стоимости, веса отнесенного к эталонному и стоимости отнесенной к эталонной для расчитанных сочетаний материалов.

Материал(-ы)	Вес(), кг	Стоимость(), $
Эталон (А36)	2.774	3.329
Упругая задача
1 – А36, 2 – Ст, 3 - Мг
1 – А36, 2 – Мг, 3 - Ст
1 – Ст, 2 – Мг, 3 - А36
1 – Ст, 2 – А36, 3 - Мг
1 – Мг, 2 – А36, 3 - Ст
1 – Мг, 2 – Ст, 3 – А36
Неупругая задача
1 – А36, 2 – Ст, 3 - Мг
1 – А36, 2 – Мг, 3 - Ст
1 – Ст, 2 – Мг, 3 - А36
1 – Ст, 2 – А36, 3 - Мг
1 – Мг, 2 – А36, 3 - Ст
1 – Мг, 2 – Ст, 3 – А36

В таблице использованы следующие обозначения: А36 – Сплав А36, Мг - Магний AZ 98 D, Ст - Нержавеющая сталь 405; 1 – нижняя полка, 2 – стенка, 3 – верхняя полка.