10 класс

10 класс

Рядовой Степанов начистил ведро картошки за 4 часа, и у него 20% всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он начистит такое же ведро картошки?
Упростите выражение: .
Можно ли число 2014 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?
Среди семи девушек математического класса найдутся две девушки, отличающиеся цветом  волос, а также две девушки, отличающиеся ростом. Докажите, что среди девушек этого класса найдутся две девушки, отличающиеся и цветом волос, и ростом.
В четырехугольнике известно, что и . Чему равно ?

10 класс

Рядовой Степанов начистил ведро картошки за 4 часа, и у него 20% всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он начистит такое же ведро картошки?
Упростите выражение: .
Можно ли число 2014 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?
Среди семи девушек математического класса найдутся две девушки, отличающиеся цветом  волос, а также две девушки, отличающиеся ростом. Докажите, что среди девушек этого класса найдутся две девушки, отличающиеся и цветом волос, и ростом.
В четырехугольнике известно, что и . Чему равно ?

10 класс

Рядовой Степанов начистил ведро картошки за 4 часа, и у него 20% всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он начистит такое же ведро картошки?
Упростите выражение: .
Можно ли число 2014 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?
Среди семи девушек математического класса найдутся две девушки, отличающиеся цветом  волос, а также две девушки, отличающиеся ростом. Докажите, что среди девушек этого класса найдутся две девушки, отличающиеся и цветом волос, и ростом.
В четырехугольнике известно, что и . Чему равно ?

Рекомендованный критерий оценки.

Все задачи 0-7 баллов.

Задача считается не решенной 0-3 баллов. Задача считается решенной 4-7 баллов.

Учащийся, решивший менее 3-х задач, не может быть победителем.

Баллы	Критерий
7б	Верное решение с пояснением.
3б	Есть вывод 1) или 2)
1б	Только ответ

За 4 ч рядовой Степанов почистил ведро картошки, при этом он начистил 0,8 ведра. Тогда целое ведро он начистит за 4:0,8= 5ч.

0б или 7б

Обозначим , тогда . Преобразуем выражение:

.

0б или 7б.

2014 – четное, но на 4  не делится, в то время, если   четное, то множители и четные, и, следовательно,  делится на 4. Значит, 2014, ввиду того, что на 4 не делится, нельзя представить в виде , где .

Баллы	Критерий
7б	Верное решение.
3б	Не доказано, что делится на 4
1б	Только ответ

По условию задачи среди девошек класса найдутся две девушки, отличающиеся цветом волос. 1) Если они еще отличаются и ростом, то задача уже решена. 2) Если же они одного роста, то в классе найдется девушка, отличающаяся ростом от первых двух. Но цвет её волос будет отличаться от цвета волос по кравней мере одной из первых двух девушек. Таким образом, в этом классе найдутся две девушки, отличающиеся и цветом волос, и ростом.

Баллы	Критерий
7б	Верное решение с пояснением.
3б	Есть вывод 1) или 2)
1б	Только ответ

Продолжим отрезки до пересечения (пусть - точка пересечения). Тогда в два угла равны по 60. Значит и третий угол равен 60, так что этот треугольник правильный. Теперь рассмотрим ABD. Эти треугольники имеют 2 пары равных углов () и равные стороны (). Значи, они равны. Поэтому . Тогда .

Баллы	Критерий
7б	Верное решение с пояснением.
3б	Доказано равенство ABD
1б	Дополнительное построение равносторонний треугольник, более ничего.