О СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТАХ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С УПРУГИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ НА СТЕРЖЕНЬ В НЕКОНЦЕВЫХ ТОЧКАХ
УДК 517.926
Казахский национальный университет им. аль-Фараби, КАЗАХСТАН
E-mail: *****@***ru
В реальных конструкциях, к примеру, таких как мосты, часто возникает проблема учета скачкообразного изменении напряжений в неконцевых точках. Одним из таких сооружений можно считать Египетский мост в Санкт-Петербург. Этот мост был построен в 1825 под руководством инженера . Он был разрушен 20 января 1905 года когда по нему прошелся эскадрон гвардейской кавалерии. Причиной разрушения явилось явление резонанса. Для того чтобы избежать резонанса ставятся некоторые условия на минимальные собственные частоты. Значение минимальной частоты должно быть как можно «дальше» от нуля. Обладая такой информацией можно с легкостью расширить допустимые границы использования таких конструкций. В этой статье изучена проблема оптимального управления собственных частот поперечных колебаний.
We often find situations when control and observation of constructions like bridges, buildings etc. which have low oscillations out of quiescence are required. Egyptian bridge in Saint-Petersburg is considered as one of these constructions. That bridge was built in 1825 under the direction of engineer V. A. Christianovich. That bridge was destroyed in January 20, 1905 when the cavalry regiment formation walked through it. The reason of the demolition of the bridge was a resonance phenomenon. In order to avoid a resonance some conditions upon lowest very own frequencies are demanded. The value of the lowest frequency must be as far as possible from zero. Possessing such kind of information we could easily expand possibilities of allowable limits of a realization of these constructions. In this article we studied the problem of an optimal control of roll oscillations’ very own frequencies.
Нақты конструкцияларда, мысалы, көпірлерде аяғында емес орта тұстарында секірмілі өзгеретін кернеулер өте жиі кездеседі. Солардың бірі ретінде Санкт-Петербургтағы Египет көпірін айтуға болады. Бұл көпір 1825 жылы инженер ң басшылығында тұрғызылғын болатын. 1905 жылы 20 қаңтарда бұл көпірден гвардиялық атты әскери ұландары өткен кезде осы көпір қыйрап қалды. Көпірдің бұзылу себебі резонанс құбылысы болды. Резонанс құбылысынан құтылу үшін көпірдің меншікті жилігі ең кіші жағдайға қою қажет. Кіші жиілік шамасы нөлдік нүктеден мүмкін болғанша қашықта жату керек. Осындай ақпаратты біліп отырып мұндай конструкцияның рұқсат етілген пайдалану шекарасын өте оңай кеңейтуге болады. Бұл мақалада өзіндік көлденен тербелес жиілігін басқарудың оптимал жолдары қарастырылған.
Введение
В реальных конструкциях часто возникаем проблема учета точечных упругих связей в неконцевых точках стержня. В точке, где находится точечная упругая связь, уравнение поперечных колебаний стержня нарушается. Хотя уравнение поперечных колебаний левей и правей этой точки сохраняется. Что же происходит в той точке, где сосредоточена упругая связь?
Далее дается ответ на поставленный вопрос. Естественно, что частоты поперечных колебаний стержня без точечной упругой связи и при наличии связи существенно разнятся. Следует иметь в виду, что во время эксплуатаций стержня под влиянием внешних воздействий может измениться коэффициент жесткости пружины. В результате чего изменяются и частоты колебаний. По изменившимся частотам можно судить о коэффициенте жесткости пружины, то есть можно проводить диагностику.
Дифференциальное уравнение в случае упругого воздействия на стержень
Рассмотрим опертый на концах стержень длины 
с модулем Юнга 
, моментом инерции площади поперечного сечения относительно нейтральный оси 
, плотностью матерала 
и площадью поперечного сечения 
(рис 1).
Рис.1 Учет точечной упругой связи в неконцевой точке стержня.
Чтобы написать уравнение поперечных колебаний стержня возьмем ось 
, совпадающей с неотклоненной осью стержня. Поперечное малое отклонение обозначается через 
. На элемент стержня в отклоненном положении, кроме силы инерции, действует упругая сила создаваемая пружиной жесткости 
. Так что выражение момента при 
будет иметь вид
Аналогично выражение момента при 
будет иметь вид
Из последнего соотношения следует, что
Заметим, что в точке 
выполняются также условия
Для простоты считаем, что на концах стержня имеем следующие краевые условия:
В принципе, на концах стержня можно выбирать и другие краевые условия. Решение ищем в следующем виде
Тогда соответственно имеем
Тогда исходное уравнение поперечных колебаний стержня при
−
перепишется в виде
(1)
В силу произвольности 
отсюда вытекает
Причем соответствующие краевые условия принимут вид:
В случае, когда 
являются определенными константами, мы получим спектральную задачу вдоль стержня длины 
следующего вида:
(2)
(3)
(4) 
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Здесь и в дальнейшем всюду обозначение 
означает скачок функции 
в точке 
.
Обозначим через
Тогда рассматриваемое дифференциальное уравнение примет следующий вид:
Задача определения частот поперечных колебаний однородного стержня с учетом точечной упругой связи во внутренней точке стержня
Ранее было показано, что колебания однородного стержня в случае упругого воздействия могут быть описаны следующей математической моделью
(11)
где 
граничные условия
(12)
(13)
(14)
(15)
Влияние упругой силы, порождаемое пружиной с коэффициентом жесткости 
, учтено при помощи следующих внутренне-краевых условий
(16)
(17) 
(18)
(19)
Заметим, что в работе [1] внутренне-краевые условия (16)-(19) для дифференциальных операторов высших порядков, в то время как в работе [2] изучены биортогональные свойства корней систем порождённых обыкновенными дифференциальными операторами второго порядка
Если 
решение уравнения 
будем искать в следующей форме
Из условий на левом конце (12)-(13) получим
В случае, когда 
решение уравнения 
будем искать в виде
Граничные условия (18)-(19) на левом конце стержня влекут
Решение будем искать в виде:
Для случая 
а для 
.
Из внутренне-краевых условий (17) и (18) следует
В результате приходим к эквивалентной системе
И можем получить следующие соотношения
где 
и 
любые константы. Для того чтобы определить 
и 
используем внутренне-краевые условия (16)-(18)
Учитывая предыдущие соотношения, получим систему однородных алгебраических уравнений относительно переменных 
и
.
Тогда определитель системы можно записать в виде
Для того чтобы найти собственные частоты, сначала требуется приравнять к нулю определитель выше. Пришли к проблеме разрешимости алгебраического уравнения относительно 
. Требуется решить задачу min-max для частот. То есть сначала находим все минимальные значения частот для каждого типа жесткости пружины и расположения пружины от края стержня. Затем, находим среди них максимальную. Соответствующие ей жесткость и координаты расположения, и будут, наиболее оптимальным вариантом. Найдя нули определителя можно с лёгкостью посчитать частоты 
из соотношения ниже.
Пример практической реализации задачи min-max через программу С++
#include<iostream>
#include<math. h>
#define N 20
#define pi 3.141592
#define minjest 0.5
#define maxjest 1.5
#define eps 0.1
double p(double a, double k, double z)
{
return sin(pi*z)*(z^3*sinh(pi*z)+k*sinh(z*(pi-a)))+sinh(z*pi)*(-z^3*sin(pi*z)+k*sin(pi*z)*sin(z*(pi-a)));
}
using namespace std;
int main()
{ int i, j, la = 0, l = 0;
double koren, z[N],h, a[N],k[N],g, min_kor, max_kor, korni[100], a_min_kor[N];
h=pi/N;
g=(maxjest-minjest)/N;
for(i=0;i<N;i++)
{
a[i]=i*h;
}
for(j=0;j<N;j++)
{
k[j]=j*g;
}
for(i=0;i<N;i++)
{
l = 0;
for(j=0;j<10;j++){
double ainterval=j*pi*10;
double binterval=(j+1)*pi/10;
while(abs(p(a[i],minjest, z[i]))>eps)
{
if(p(a[i],minjest, ainterval)*p(a[i],minjest, binterval)>0) break;
z[i]=(binterval-ainterval)/2;
if (p(a[i],minjest, ainterval)*p(a[i],minjest, z[i])<0);
binterval=z[i];
if (p(a[i],minjest, binterval)*p(a[i],minjest, z[i])<0);
ainterval=z[i];
koren = (binterval-ainterval)/2.0;//pomenyat;
}
korni[l] = koren; l++;
/*if(koren1>koren2)
min_kor[i]=koren2;
else
min_kor[i]=koren1;*/
}
min_kor = korni[1];
for(int k=2;k<l+1;k++)
{
if(korni[i]<min_kor && korni[i]>eps) min_kor = korni[i];
}
a_min_kor[i] = min_kor;
}
/*
for(i=0;i<N;i++)
{
if (min_kor[i]>min_kor[i+1])
{
min_kor[i+1]=min_kor[i];
max_kor=min_kor[i];
}
else max_kor=min_kor[i+1];
} */
max_kor = a_min_kor[0];
for(int k=1;k<l+1;k++)
{
if(a_min_kor[i]>max_kor) {
max_kor = a_min_kor[i];
la = i;
}
}
for(int k=1;k<20;k++)
cout << korni[5] << " "<< l <<endl;
return 0;
}
Пример практической реализации задачи min-max через программу MatLab
clear;
clc;
global l c E J a
l = 10; % Взято как пример.
E = 20; % Взято как пример.
J = 100; % Взято как пример.
c = 100; % Взято как пример.
a = 3.141592; % Взято как пример.
p = 0 : 10^(-6) : 1; % Взято как пример.
f = det_p(p); % Значения функции.
plot(p, f); % Построение графика для конкретных значений.
%{
%===============================%
% Заготовка для решения задачи. %
%===============================%
vector_c = 50 : 500; % Диапазон значений для вектора с.
vector_a = 0 : 10^(-6) : 1; % Диапазон значений для вектора a.
roots = zeros(length(vector_c),length(vector_a)); % Матрица корней.
p0 = 1; % Начальное приближения.
for i = 1 : length(vector_c)
for j = 1 : length(vector_a)
c = vector_c(i);
a = vector_a(j);
roots(i, j) = fsolve(@det_p, p0);
end
end
[res, i_max] = max(roots);
[res, j_max] = max(A);
%}
function res = det_p( p )
% Функция Delta(p).
global l c E J a
res = 2 * p.^3 .* sin(p * l) .* sinh(p * l);
res = res + (c / (E * J)) .* sin(p * l) .* sinh(p * (l - a)) .* sinh(p * a);
res = res - (c / (E * J)) .* sin(p * a) .* sin(p * (l - a)) .* sinh(p * l);
end
Вывод
Показано, как моделируется механическая система с точечной или сосредоточенными упругой связью. Оказывается, что такие связи нарушают гладкость решений и вследствие чего уравнение движения в этой точке перестает соблюдаться. В замен уравнению в этой точке возникают внутренне краевые условия. Учет таких внутренне - краевых условий позволяет выписать дисперсионные соотношения, которые связывают собственные частоты колебаний и физические характеристики в точке связи. Зная те или иные частоты, можно точно выбирать оптимальные параметры расположения точечных упругих нагрузок, при построении того или иного сооружения. Также можно вести регулярный мониторинг и обслуживание, зная нормальные значения собственных частот системы. Данные результаты могут быть полезны в первую очередь для инженеров и прикладников.
Литература
[1] , , Аппроксимативные свойства систем корневых функций, порождаемые корректно разрешимыми краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков // Уфимск. матем. журн.- 2011,- 3(3). –С. 80–92
[2] Kanguzhin B. E. and Nurakhmetov D. B. On Properties of Systems of Root Functions of Well-Posed Boundary Value Problems for the Second Order Differential Operator // Int. Journal of Math. Analysis.- 2011, - Vol. 5, № 46. –Р. 2285 – 2294.
[3] Техническая диагностика. – М.: Машиностроение, 1978. -239 с.
[4] Аналогия между задачами о плоском напряженном состоянии и об изгибе круглой пластины переменной толщины при несимметричной нагрузке // ПММ. – 1952. – Т.16. – С.749-752.
[5] Ван Дер Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями // Функц. Анализ и его приложения. – 2002. – Т.36, №4. – С.74-77.
