Теория раскроя бревен на пиломатериалы
Общие положения. Проф. в своих исследованиях определил оптимальные размеры досок с учетом следующих условий: 1) форма бревна принималась за усеченный параболоид, а торцовое сечение – за круг; 2) сечение бревна, параллельное его продольной оси, имеет вид параболы, т. е. каждая необрезная доска, которая выпиливается из бревна, ограничена параболой (полной или усеченной); 3) сначала определялись оптимальные размеры досок по ширине и длине, а затем – по толщине.
Образующая линия бревна является параболой, уравнение которой в соответствии с рис. 16 будет иметь следующий вид:
, (17)
Параметр параболы определяется по формуле
,
где D, d – диаметр бревна соответственно в комлевом и вершинном торцах; L – длина бревна.
Определим диаметр бревна dр в расчетном сечении, расположенном на расстоянии lр от комлевого торца. В соответствии с рис. 16 и уравнением параболы (17):
,
откуда
. (18)
Рис. 16. Расчетная форма бревна
Если мы знаем этот диаметр, то можем определить ширину необрезной доски в расчетном сечении бревна (см. рис. 16):
. (19)
Рассмотрим частные случаи определения ширины доски:
1) в вершинном торце бревна при dр = d, т. е. когда lр = L, ширина доски будет
; (20)
2) в комлевом торце бревна при dр = D, т. е., когда lр = 0, ширина доски будет
.
Длину необрезной доски lн можно определить при условии
bр = 0, т. е. когда lр = lн. Подставим значение bр = 0 и lр = lн в формулу (19), тогда
,
откуда
, (21)
где lн – длина необрезной доски в зависимости от ее местоположения в поперечном сечении бревна.
Отметим, что местоположение доски задано величиной E – расстоянием между соответствующими симметричными пластями досок в поставе. Например, если E ≤ d, тогда lн = L и необрезная доска ограничена усеченной параболой. А если E > d, тогда
,
т. е. lн < L и она ограничена полной параболой.
Оптимальные размеры обрезных досок. При распиловке бревен вразвал получают необрезные доски, которые затем перерабатывают на обрезные. Оптимальные размеры обрезных досок по длине и ширине должны обеспечивать наибольшую площадь, а значит, и максимальный выход при раскрое необрезных пиломатериалов. Известно, что необрезная доска по форме напоминает параболу. Поэтому для решения поставленной задачи достаточно определить размеры сторон вписанного в параболу прямоугольника, который будет иметь максимальную площадь.
В соответствии с рис. 17 площадь прямоугольника, вписанного в параболу, равна:
. (22)
Рис. 17. Схема раскроя необрезной доски
Известно, что уравнение параболы y2 = 2pz. Учитывая обозначения, принятые на рис. 17, можно записать:
;
.
Разделим первое уравнение на второе и получим
,
откуда
. (23)
Подставим значение bо в формулу (22):
.
Для определения оптимальной длины доски возьмем производную от F по lо, т. е.
,
но 
, значит,
,
или
,
откуда 
. (24)
Таким образом, оптимальная длина обрезной доски составляет 2/3 длины необрезной доски, начиная от комлевого торца.
Если значение lн (см. формулу (21)) подставить в формулу (24), то получим оптимальную длину обрезной доски в зависимости от ее местоположения в поставе:
. (25)
Оптимальную ширину обрезной доски можно определить, если подставить значение lо = 2lн/3 в формулу (23):
.
Таким образом, оптимальная ширина обрезной доски составляет примерно 0,6 ширины необрезной доски в комлевом торце.
Известно, что 
, тогда оптимальная ширина обрезной доски в зависимости от ее местоположения в поставе будет
. (26)
Напомним, что в уравнениях (25) и (26) D и d – диаметры бревна соответственно в комлевом и вершинном торцах; E – расстояние между соответствующими симметричными пластями досок в поставе.
Пифагорическая и параболическая зоны бревна. При распиловке бревен вразвал часть необрезных досок в вершинном торце будет иметь ширину b ≥ 0,577B. В таком случае эти доски обрезают по ширине в вершинном торце, и их оптимальная длина будет соответствовать длине бревна, т. е. их не надо укорачивать.
Определим, при каком значении E необрезные доски не требуют укорачивания, т. е. lо = L. Подставим в формулу (25) вместо lо значение L и обозначим ширину зоны, в пределах которой lо = L, через Eкр. Тогда получим
откуда
, (27)
где Eкр – ширина зоны в вершинном торце бревна, в пределах которой ширина обрезных досок будет определяться по теореме Пифагора (20), а длина этих обрезных досок соответствует длине бревна. Такую зону называют пифагорической.
Отметим, что Eкр зависит от коэффициента сбега K = D / d. Если в формулу (27) подставить D = Kd, то получим
. (28)
Результаты вычисления Eкр в зависимости от K:
K | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 |
Eкр/d | 0,946 | 0,883 | 0,810 | 0,721 |
Таким образом, с увеличением коэффициента сбега бревна значение Eкр уменьшается.
Из формулы (28) можно установить, при каких условиях все необрезные доски постава надо будет укорачивать, чтобы получить максимальный выход обрезных досок. Это случится, если 
, тогда K = 1,73. Значит, если бревно имеет превышение комлевого диаметра над вершинным в 1,73 раза, тогда, чтобы из него выпилить обрезные доски максимального объема, их надо укорачивать. При этом будут большие потери древесины. Поэтому при раскрое хлыстов на сортименты обязательно надо обеспечить условие K < 1,73.
Зону поперечного сечения бревна, которая расположена за границами пифагорической зоны, называют параболической. Необрезные доски, выпиленные из этой зоны, должны быть укорочены до оптимальной длины и обрезаны до оптимальной ширины. В этом случае lо и bо определяют по формулам (25) и (26). Таким образом, при определении оптимальных размеров обрезных досок необходимо учитывать, из какой зоны бревна они выпиливаются.
Если E < Eкр (пифагорическая зона), тогда
; lо = L.
Если E > Eкр (параболическая зона), тогда
; 
.
Соответственно можно определить и объем этих досок. Объем обрезной доски, выпиленной из пифагорической зоны:
. (29)
Объем доски, выпиленной из параболической зоны:
(30)
В формулах (29) и (30) D и d – диаметры бревна соответственно в комлевом и вершинном торцах; L – длина бревна; a – толщина доски; E – расстояние между соответствующими симметричными пластями досок в поставе.
Номограммы. После того как были установлены оптимальные размеры досок по ширине и длине, проф. определил оптимальную толщину досок. Он рассмотрел три случая (рис. 18);
Рис. 18. Схема раскроя бревна по
1. Все доски находятся в пифагорической зоне бревна – тогда общий объем полученных обрезных досок будет
,
где Vi – объем i-й обрезной доски, который определяется по формуле (29); n – количество досок в поставе.
2. Все доски находятся в параболической зоне бревна – тогда общий объем полученных обрезных досок будет
,
где Wi – объем i-й обрезной доски, который определяется по формуле (30); n – количество досок в поставе.
3. Одна часть досок выпиливается из пифагорической зоны, а другая – из параболической зоны бревна, тогда общий объем обрезных досок будет
,
где Vi – объем i-й обрезной доски, выпиленной из пифагорической зоны (формула (29)); n – количество досок из пифагорической зоны;
Wj – объем j-й обрезной доски, выпиленной из параболической зоны (формула (30)); m – количество досок из параболической зоны.
Шапиро взял частные производные от Q по a, приравнял их к нулю и вывел формулы оптимальной толщины обрезных досок для каждого из трех принятых случаев. Но эти формулы оказались очень сложными, поэтому на их основании построил номограммы для составления максимальных поставов.
На рис. 19 приведена одна из номограмм. По наклонным линиям E0, E1, E2, …, E6 можно определить толщину досок в зависимости от их количества в поставе (например, a1, a2 и a3 – при выпиливании трех пар досок и т. д.). Ширина досок определяется по оси ординат. По кривой mK находят ширину доски в пифагорической зоне. Кривая Kp показывает ширину досок, которые выпиливают из параболической зоны, вертикальная линия nt – границу между параболической и пифагорической зонами бревна.
Однако номограммы не учитывают припусков на усушку и ширину пропилов, что сказывается на точности результатов при их использовании. Они не нашли в свое время широкого распространения в связи со сложностью их использования (их было 210 шт.). Но исследования явились первыми наиболее глубокими научными разработками в области рационального использования сырья при распиловке бревен на пиломатериалы. Они получили развитие в дальнейших исследованиях по раскрою бревен.
Рис. 19. Шапиро для расчета и составления поставов
