Задания

7 класс

7-1.Отец и сын возвращались с рыбалки каждый со своим уловом. Чтобы уравнять уловы, отец отдал сыну несколько рыб. Если бы наоборот, сын отдал отцу столько же рыб, то у отца оказалось бы в два раза больше рыб, чем у сына. На сколько процентов улов отца больше улова сына?

7-2.Каким наибольшим количеством фигур

и

можно «замостить» квадрат  7 на 7 клеток?

7-3. Шесть стрелков участвовали в соревновании в стрельбе по мишени. Каждый стрелок сделал по пять выстрелов. За один выстрел по мишени можно было выбить целое число очков, от 1 до 10 включительно. Очки, набранные за 5 выстрелов, суммируются (и стрелок получает от 5 до 50 очков). Какую сумму набрал стрелок, занявший третье место, если все стрелки набрали в сумме различное число очков, причём каждый стрелок хотя бы раз выбил «семёрку», а общая сумма всех набранных стрелками очков равна 264?

7-4.В старших классах некоторой школы ровно n учащихся. Девочки пишут мальчикам «эсэмэски». Одна девочка написала «эсэмэски» 5 мальчикам, другая – 7 мальчикам, третья – 6 мальчикам, четвёртая – 8 мальчикам, пятая – 7 мальчикам, шестая – 9 мальчикам, седьмая – 8 мальчикам, и так далее. Последняя девочка написала «эсэмэски» всем мальчикам. Докажите, что  n делится на  3 .

7-5.Найдутся ли три подряд идущих трёхзначных числа, каждое из которых не делится ни наодно из чисел  4 ,  5  и  6 ,  но представимо в виде разности квадратов двух целых чисел?

8 класс

8-1.На какое наименьшее число треугольников потребуется разрезать прямоугольник 25 х 12 , чтобы из получившихся треугольников можно было составить прямоугольник 20 х 15?

8-2.В старших классах некоторой школы ровно n учащихся. Девочки пишут мальчикам «эсэмэски». Одна девочка написала «эсэмэски» 5 мальчикам, другая – 7 мальчикам, третья – 6 мальчикам, четвёртая – 8 мальчикам, пятая – 7 мальчикам, шестая – 9 мальчикам, седьмая – 8 мальчикам, и так далее. Последняя девочка написала «эсэмэски» всем мальчикам. Докажите, что  n  делится на  3 .

8-3.  Целой частью числа  х  называется наибольшее из всех целых чисел, не превосходящих  х. Дробной частью числа  х  называется разность между числом  х  и его целой частью. Найдите все такие пары нецелых вещественных чисел, что целая часть первого числа на шесть больше целой части второго числа и в пять раз больше дробной части второго числа, а дробная часть второго числа в четыре раза больше дробной части первого числа.

8-4.Продолжения сторон  CN  и  AM  выпуклого четырёхугольника  NCAM  пересекаются под прямым углом.  Докажите, что если углы  М  и  N  тупые,  а отрезок МN  виден из середины отрезкаACпод прямым углом, то  AM2  + CN2  = MN2 .

8-5.Найдутся ли три подряд идущих трёхзначных числа, каждое из которых не делится ни на одно из чисел  4 ,  5  и  6 ,  но представимо в виде разности квадратов двух целых чисел?

9 класс

9-1.Шесть стрелков участвовали в соревновании в стрельбе по мишени. Каждый стрелок сделал по пять выстрелов. За один выстрел по мишени можно было выбить целое число очков, от 1 до 10 включительно. Очки, набранные за 5 выстрелов, суммируются (и стрелок получает от 5 до 50 очков). Какую сумму набрал стрелок, занявший третье место, если все стрелки набрали в сумме различное число очков, причём каждый стрелок хотя бы раз выбил «семёрку», а общая сумма всех набранных стрелками очков равна 264?

9-2.  При каких целых  к только одно из всех целых нечётных чисел является корнем уравнения  ?

9-3.Найдутся ли три подряд идущих трёхзначных числа, каждое из которых не делится ни на одно из чисел  5 ,  6 ,  7 ,  8  и  9 ,  но представимо в виде разности квадратов двух целых чисел?

9-4.  Целой частью числа  х  называется наибольшее из всех целых чисел, не превосходящих  х. Дробной частью числа  х  называется разность между числом  х  и его целой частью. Найдите все такие пары нецелых вещественных чисел, что дробная часть первого числа пары меньше дробной части второго числа пары, сумма чисел пары в пять раз больше дробной части первого числа, а разность первого и второго чисел пары в восемь раз больше дробной части второго числа.

9-5.В прямоугольном треугольнике  АВС  из вершины  С  прямого угла проведены высота  CD  и биссектриса  CE.  DG  и  DF  – биссектрисы треугольников  CDB  и  CDA  соответственно.  Доказать, что  CFEG – прямоугольник.

10 класс

10-1.  Целой частью числа  х  называется наибольшее из всех целых чисел, не превосходящих  х. Дробной частью числа  х  называется разность между числом  х  и его целой частью. Найдите все такие пары нецелых вещественных чисел, что целая часть первого числа на шесть больше целой части второго числа и в пять раз больше дробной части второго числа, а дробная часть второго числа в четыре раза больше дробной части первого числа.

10-2.  При каких целых нечётных  к только одно из всех целых чётных чисел является корнем уравнения  ?

10-3.Найдутся ли три подряд идущих трёхзначных числа, каждое из которых не делится ни на одно из чисел 5 ,  6 ,  7 ,  8  и  9 ,  но представимо в виде разности квадратов двух целых чисел?

10-4.  В куче  2014  камней. Двое играют в следующую игру: сначала игрок  А  берёт из кучи некоторое количество камней, от  1  до  30  включительно, затем игрок  Б  берёт из кучи  1  или  2  камня, затем игрок  А  берёт из кучи  2  или  3  камня, затем игрок  Б  берёт из кучи  3  или  4  камня, затем игрок  А  берёт из кучи  4  или  5  камней, и так далее. Тот игрок, кто забирает последний камень, объявляется победителем. Если ни один игрок не сможет забрать последний камень (в куче остался хотя бы один камень, но сделать следующий ход нельзя), то объявляется ничья. Каков результат игры при правильной стратегии?

10-5.  Треугольник  АВС  с прямым углом  В  вписан в окружность.  М – точка пересечения прямой  АС  с касательной к окружности в точке  В. Р – точка пересечения прямой  ВС  с касательной к окружности в точке  А. Н – точка пересечения прямой  АВ  с касательной к окружности в точке  С. Докажите, что точки  М,  Р  и  Н  лежат на одной прямой.

11 класс

11-1.  Целой частью числа  х  называется наибольшее из всех целых чисел, не превосходящих  х. Дробной частью числа  х  называется разность между числом  х  и его целой частью. Найдите все такие пары нецелых вещественных чисел, что целая часть первого числа на шесть больше целой части второго числа и в пять раз больше дробной части второго числа, а дробная часть второго числа в четыре раза больше дробной части первого числа.

11-2.  При каких целых нечётных  к только одно из всех целых чётных чисел является корнем уравнения  ?

11-3.  В куче  2014  камней. Двое играют в следующую игру: сначала игрок  А  берёт из кучи некоторое количество камней, от  1  до  30  включительно, затем игрок  Б  берёт из кучи  1  или  2  камня, затем игрок  А  берёт из кучи  2  или  3  камня, затем игрок  Б  берёт из кучи  3  или  4  камня, затем игрок  А  берёт из кучи  4  или  5  камней, и так далее. Тот игрок, кто забирает последний камень, объявляется победителем. Если ни один игрок не сможет забрать последний камень (в куче остался хотя бы один камень, но сделать следующий ход нельзя), то объявляется ничья. Каков результат игры при правильной стратегии?

11-4.В окружность вписан прямоугольный треугольник  ABC  с гипотенузой  AB.  Пусть  K – середина дуги  BC,  не содержащей точку  A,  N – середина отрезка  AC,  M – точка пересечения луча  KN  с окружностью.  В точках  A и  C  проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке  E.  Докажите, что угол  EMK  равен  900 .

11-5.  Рассматриваются всевозможные треугольные пирамиды  АВСТ,  высоты которых, опущенные из вершины  Т,  попадают в центр вписанной окружности основания  АВС.  ТК,  ТН  и  ТМ  – высоты боковых граней, опущенные на стороны основания  АВ,  ВС  и  СА. Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма длин высот ТК,  ТН  и  ТМ,  если периметр основания пирамиды равен  24 ,  а  объём пирамиды (одна треть произведения площади основания на высоту) равен  4 .