Исследование полной вероятности

МКУ «Районное управление образования»

Администрации МО «Кабанский район»

МАОУ «Селенгинская гимназия».

Выполнила: Глазачева Ольга, ученица 11а класса.

Научный руководитель: ,

учитель математики высшей квалификационной категории.

2013 г.

Оглавление:

1. Введение  3

2. Основная часть:

1) Базовые понятия и термины исследования;  3

2) Некоторые следствия, вытекающие из определения математической вероятности.  4

3) Исследование формулы полной вероятности  5

4) Расчет вероятности в практических задачах.  6

3. Заключение  9

4. Список использованной литературы  10

Введение

Данная работа посвящена исследованию полной вероятности.  Актуальность исследования определяется тем, что в настоящее время элементы статистики и теории вероятностей включены в государственный стандарт средней школы.  Методических и дидактических материалов для успешного изучения этой науки пока создано недостаточно.

Цель работы  заключается в исследовании формулы полной вероятности и создании тренажера для  лучшего усвоения знаний по теории вероятностей.

В соответствии с целью и гипотезой исследования были выдвинуты следующие задачи:

Изучить литературу и Интернет-ресурсы по проблеме. Определить базовые понятия и термины, используемые в работе. Научиться решать задачи на вычисление вероятности событий. Выполнить практическую часть: исследовать формулу полной вероятности и создать тренажер. Сделать выводы по данной работе.

Гипотеза исследования: формула полной вероятности позволит рассчитать возможности появления некоторых событий, а тренажер поможет лучше усвоить знания по данной теме.

Объект исследования: теория вероятности.

Предмет исследования: полная вероятность.

Методы исследования: анализ теоретического материала, классификация задач по уровню сложности, обобщение  материала, статистические  методы обработки данных (анкетирование).

Базовые понятия и термины

  Теория вероятностей и математическая статистика сформировались в научные дисциплины позже большинства других разделов математики. Однако осознание важности этих разделов математики в самых различных областях человеческой деятельности в середине прошлого века поставило во многих развитых странах вопрос о включении элементов этих дисциплин в школьную программу. В России этот вопрос начал обсуждаться еще раньше. В 1914 году он рассматривался на заседании секции математики Российской академии наук, рекомендовавшей включение элементов теории вероятности и статистики в школьные программы.

  Те или иные материалы по этой тематике давно уже присутствуют в учебниках математики и алгебры, однако они не являются систематическими и не формируют целостного представления о данном предмете. Включение элементов статистики и теории вероятностей в государственный стандарт средней школы потребовало более тщательного изучения этих разделов математики.

Из школьного курса нам известно определение вероятности события. Вероятность события измеряется дробью, числитель которой равен числу случаев, благоприятных появлению события, а знаменатель – числу всех случаев, могущих появиться при данном наблюдении.

Для большей простоты существуют ограничения: во-первых, рассматриваются  только равновозможные случаи. Случаи называются равновозможными, когда нет никакой причины отдать предпочтение появлению одного случая перед другим. Во-вторых, в каждом отдельном случае не может появиться более одного события. Кроме того, случаи  несовместимы, если имеет место один случай, то одновременно не может быть другого. Следовательно, вероятность события зависит как от числа случаев, благоприятных появлению ожидаемого события, так и от числа случаев, неблагоприятных этому событию. Определение вероятности сводится к точному подсчету всех случаев, при которых событие может наступить.

Некоторые следствия, вытекающие из определения математической вероятности

Вероятность увеличивается и уменьшается одновременно с увеличением и уменьшением дроби , где m означает число всех равновозможных случаев, а n – число случаев, благоприятных появлению ожидаемого события. Но при этом необходимо всегда помнить, что, если две величины одновременно увеличиваются или уменьшаются, то отсюда еще не следует, чтобы эти величины были равны или даже пропорциональны. Дробь , которая принимается, как мера математической вероятности, может принимать все значения между нулем и единицей. Вероятность равна единице, когда n=m, т. е. когда все случаи благоприятны появлению ожидаемого события, и тогда событие достоверно, т. е. оно должно непременно случиться. Отсюда следует, что за единицу меры вероятностей мы принимаем вероятность достоверного события. Вероятность обращается в ноль, когда n=0, т. е. когда совсем нет случаев, благоприятных для появления события. В таком случае событие не появится вовсе. Следовательно, если вероятность равна нулю, то событие вовсе не появится. Пусть n означает число случаев, благоприятных появлению ожидаемого события, а m число всех возможных случаев. Вероятность появления ожидаемого события выразится, как мы знаем, дробью . Вероятность непоявления того же события выразится дробью . Обозначим первую вероятность через p, тогда вторая будет 1-p. Отсюда заключаем следующее:

Если вероятность появления события есть р, то вероятность непоявления того же события есть 1-р.

Учет случаев должен делаться со всевозможной осторожностью и внимательностью: 

Следует сосчитать все возможные случаи, ни один случай не должен быть пропущен. Случаи должны быть равновозможны. Они должны быть несовместимы.

Исследование полной вероятности

Меня заинтересовало, как можно вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез. Условная вероятность -  вероятность одного события  при условии, что другое событие уже произошло.

Пусть событие А  может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,…,Вn, которые образуют полную группу. Тогда, если произошло событие А, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий В1А, В2А, ВnА, следовательно,

А = В1А+В2А+…+ВnА,

Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем

Р(А)=Р(В1А+В2А+…+ВnА)=(В1А)+Р(В2А)+…+Р(ВnА)

Но Р(В1А)=Р(В1)РВ1(А), т. к i=1,2,…,n, поэтому Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+...+Р(Вn)РВn(А).

Эта формула называется формулой полной вероятности. События В1, В2,..., Вn часто называют «гипотезами».

Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности РВ1(А),…, РВn(А) события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,…,Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Пример 1.В первой коробке содержаться 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа».

Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие В1) , либо нестандартная ( событие В2).

Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа,

.

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа,

.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна

.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена не стандартная лампа, равна .

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная  лампа, по формуле полной вероятности равна

.

Расчет вероятности в практических задачах

Пример 1.  Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события {попал при первом выстреле}, { попал при втором выстреле} и т. д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность каждого равна 0,8. Значит, вероятность каждого промаха равна 1-0,8=0,2. Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что событие А={попал; попал; попал; промахнулся; промахнулся} имеет вероятность

Р(А)=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,83*0,22=0.512*0,04=0,02048~0,02.

Пример 2. На трех дочерей – Анну, Ольгу и Татьяну – в семье возложена обязанность мыть тарелки. Поскольку Анна старшая, ей приходится выполнять 40% всей работы, остальные 60% Ольга и Татьяна делят поровну. Когда Анна моет посуду, вероятность для нее разбить одну тарелку равна 0,02, для Ольги -0,03 и для Татьяны -0,02. Родители не знают, кто мыл тарелки, но они слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду мыла Анна?

Решение. Пусть событие А={Анна или Ольга или Татьяна разбили тарелку}

Можно сделать предположения:

B1={мыла посуду Анна }

B2={мыла посуду Ольга }

В3={мыла посуду Татьяна }

По условию задачи имеем :

Пример 3. Из 300 лампочек поступивших на склад к завхозу, Валериею Идрисовичу, предполагается израсходовать на первый этаж 80 лампочек, на второй этаж 100, на третий этаж 120 лампочек. После поступления товара, пришло уведомление о том, что из партии ламп для первого этажа вероятность поступления бракованных ламп составляет 2 %, для ламп второго этажа 4%, для ламп третьего этажа – 1%. Из поступившей партии взяли одну лампу. Какова вероятность того, что наугад взятая лампа, предназначенная для третьего этажа бракованная?

Решение:

Обозначим В= наугад взята  бракованная лампа

А1= из партии для первого этажа

А2= из партии для второго этажа

А3= из партии для третьего этажа

События А1, А2, А3 образуют полную группу несовместных событий

Условные вероятности того, что возьмем бракованную лампочку, равны

Заключение

Методы теории вероятности применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, в теоретической физике, астрономии, общей теории связи и многих других науках, способствуя их прогрессу, а также служат для обоснования математической и прикладной статистики, которая используется для планирования и организации производства, для обеспечения их наибольшей эффективности в условиях рынка.

В соответствии с целью и гипотезой, я изучила литературу и Интернет-ресурсы по проблеме; определила базовые понятия и термины, используемые в работе; научилась решать задачи на вычисление вероятности событий; исследовала формулу полной вероятности и создала тренажер (смотреть приложение) для усвоения знаний по теории вероятностей.

Апробация тренажера в выпускных классах гимназии показала, по результатам анкетирования, что учащиеся легко и с интересом проработали задание В10 единого государственного экзамена.

Список использованной литературы Сборник задач.- М.: Просвещение., 1983. ероятность и достоверность. М., Физматгиз,1961. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебн. пособие для вузов.- М.: Высшая. Шк., 2002-479с. Курс теории вероятностей.- М.: Наука., 1965. Математика изучает случайности. М., Просвещение, 1975. Школьнику о теории вероятностей: Учеб. Пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов. .- М.: Просвещение., 1983.-127с. ятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. М., Наука, 1975. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. М., Наука,1970. Теория вероятностей.- М.: Просвещение., 1983. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1982.