1. Второе предельное состояние однородных и композитных балок
Задание и исходные данные
Задача
Нам дана балка на двух шарнирах. Она нагружена распределенной силой по закону представленному на рисунке (Рис. 1.1). Балка имеет круглое сечение, площадь которого нам известна и имеет постоянное значение для эталонного случая, а так же известны прочностные характеристики трех материалов (Табл. 1.1), из которых может быть изготовлен стержень. Требуется подобрать такую площадь поперечного сечения стержня и такую комбинацию из этих трех материалов, чтобы конструкция имела минимальный вес и минимальную стоимость.
Исходные данные
Исходная расчетная схема (Рис. 1.1), балка на двух шарнирах. Она нагружена распределенной силой по закону представленному на рисунке:
Далее выбераем три материала и данные сводим в единую таблицу (Табл. 1.1):
Таблица 1.1
Характеристика и стоимость материалов
Название материала |
| Е, ГПа |
|
|
| Стоимость, $/ кг |
Сплав А36 |
|
|
|
|
| 1.2 |
Нержавеющая сталь 405 |
|
|
|
|
| 10 |
Магний AZ 98 D |
|
|
|
|
| 3.4 |
, кг\ м3
, Мпа
, МПа
Рассматриваем конструкцию с симмеричной структурой расположения материалов. Так же имеем исходные геометрические размеры конструкции:
3.2 Решение задачи
3.2.1 Решение задачи для эталонной конструкции
Уравнения равновесия не зависят от материала балки и для нашего случая выглядят так:
+6 граничных условий (1.1)
Усилия и момент возникающие в стержне зависят от структуры сечения, от ствойств материала и определяются формулами:
(1.2)
Так же для простоты примем:
; (1.3)
В общем случае выражения для гипотизы Кирхгофа записыватеся в виде:
(1.4)
При решении нашей задачи мы используем понятие нейтралного слоя, для которого выражение гипотизы Кирхгофа будет иметь вид, в силу того, что деформации нейтрального слоя равны 0:
, (1.5)
где 
- координата нейтрального слоя.
Предпологая что все материалы в конструкции одинаково сопротивляются растяжению и сжатию, рассмотрим диаграмму жестко-пластичнеского материала изображенную на рисунке (Рис. 1.3). На диаграмме 
– предел прочности, 
– удлинение при разрыве.
Таким образом, запишем закон деформирования, чтобы определиться со свойствами материала, для каждого элемента стержня в зоне упрочнения материала:
(1.6)
- предел текучести i-го материала, 
, 
- константы для зависимоти 
в зоне растяжения/сжатия. В случае эталонной конструкции имеем:
(1.7)
Из (1.6) найдем константы для нащего эталонного материала. Для этого запишем уравнение касательной к произвольной точке кривой, продифференцировав (1.6) по 
:
(1.8)
Устремляя 
, получаем 
. Далее находим 
из уравнения (1.6) подставив 
, получим:
(1.9)
Распишем в общем виде 
и 
по сечению стержня, учитывая (1.4), (1.5):
Далее группируем слогаемые при 
и 
учитывая что они не зависят от 
:
, (1.10)
где
Далее запишем момент:
Далее группируем слогаемые при 
и 
учитывая что они не зависят от 
:
, (1.11)
где
Уравнение изгиба балки можно записать:
(1.12)
Тогда интегрируя уравнение (1.12) при граничных условиях:
(1.13)
получим
(1.14)
Далее, используя первое выражение формул (1.1) проинтегрируем 
. И получим, что 
. В нашем случае 
. Таким образом, первое выражение (1.10) примет вид:
(1.15)
Из (1.10) выразим 
:
(1.16)
С учетом (1.16) перепшем выражение для 
:
(1.17)
(1.17) с учетом второго выражения (1.1) примет вид:
Кривизна выражается через функцию прогиба следующим образом:
Тогда получается, что:
(1.18)
Проинтегрируем выражение (1.18) и получим вид функции прогиба:
(1.19)
Используя граничные условия определим константы интегрирования:
(1.20)
И получим прогиб:
(1.21)
Используя выражение прогиба, получаем вид функции кривизны:
(1.22)
Перепишем (1.16) с учетом (1.22):
(1.23)
Далее (1.23) подставляем в (1.3) и получим:
(1.24)
Далее определим 
, с учетом того, что мы знаем, что точка максимального прогиба находится в положении 
. Тогда 
. Вес и стоимость эталонной конструкции:
1.2.2. Оптимизация конструкции
Конструкция из 2х материалов
Оптимизировать будем по площади. Таким образом, нам известна длина стержня и предельная нагрузка, которую должны выдержать стержни – это критическая нагрузка эталонной конструкции (
). Так же нам известны прочностные характеристики материалов (Табл. 1.1). Требуется подобрать такую площадь каждого стержня, чтобы конструкция могла выдержать предельную нагрузку при заданном материале. Затем надо сравнить вес и стоимость полученной конструкции с весом и стоимостью эталонной конструкции.
Для эффективного использования материалов конструкции в ней должны выполняться следующие критерии:
(1.25)
Из этих соотношений выразим 
и 
:
(1.26)
Наша конструкция должна выдерживать 
. Подставляем это значение в уравнения:
и получаем 
и 
. Далее можем определить вес и стоимость конструкции.
1.3. Представление результатов
Аналогично тому, как в первом случае (для нержавеющей стали 405) мы нашли площади, вес, стоимость, вес отнесенный к эталонному и стоимость отнесенную к эталонной, далее проделаем эти действия для других материалов в конструкции. Если же мы делаем стержни из разных материалов, то в решении проводим аналогию со случаем 2. И при изготовлении составных стержней, используем расчет, как в случае 3. В таблице (Табл. 1.2.) приведем получененные нами вес, стоимость, вес отнесенный к эталонному и стоимость отнесенную к эталонной для конструкции из разных сочетаний материалов.
Таблица 1.2
Сводка итоговых значений веса, стоимости, веса отнесенного к эталонному и стоимости отнесенной к эталонной для расчитанных сочетаний материалов.
Материал(-ы) | Вес( | Стоимость( |
|
|
Конструкция из одного материала | ||||
Эталон (А36) | 11.098 | 13.317 | ||
Конструкция из 2х разных материалов | ||||
Мг, А36 | ||||
А36, Мг | ||||
Ст, А36 | ||||
А36, Ст | ||||
Мг, Ст | ||||
Ст, Мг |
), кг
), $
В таблице использованы следующие обозначения: А36 – сплав А36, Ст - Нержавеющая сталь 405, Мг - Магний AZ 98 D.
