7 профи, 8 класс, подсчет двумя способами

Каждый мальчик в классе дружит с тремя мальчиками и шестью девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками. Каково наименьшее количество детей в классе? В некоторых клетках таблицы 10?10 стоят фишки. Во всех строках поровну фишек, а во всех столбцах – различные количества фишек. Сколько фишек могло быть на доске? Имеется компания из 2n человек – n юношей и n девушек. Сколько существует способов составить компанию, в которой было бы одинаковое число юношей и девушек? В компании из 25 человек каждый знаком ровно с четырьмя другими. Оказалось, что тройку попарно знакомых людей можно выбрать k способами. Найдите наибольшее возможное значение k. В вершины квадратного участка вбиты колышки. Внутри участка вбито еще 10 колышков. Никакие три колышка не лежат на одной прямой. Между некоторыми колышками натянуты веревочки так, что участок оказался разбит на треугольники, при этом на каждом колышке хотя бы две веревочки. Каково наименьшее количество треугольников? В парламенте 30 сенаторов. Каждые два из них либо дружат, либо враждуют, причем каждый дружит ровно с 6 другими. Каждые 3 сенатора образуют комиссию. Найдите общее число комиссий, в которых все три члена попарно дружат, или все трое попарно враждуют. В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Известно, что в клетках любого квадрата 2?2 сумма чисел положительна. Докажите, что найдется уголок из 5 клеток, в клетках которого сумма чисел положительна. Клетчатый квадрат 20?20 разрезан на клетчатые полоски шириной 1. Каждый горизонтальный или вертикальный ряд пересекает не более k полосок. Найдите наименьшее возможное значение k. Были две одинаковые шестеренки, у каждой по 60 зубьев. Вася у каждой шестеренки спилил 30 зубьев. Докажите, что их можно наложить друг на друга так, чтобы совпало не менее 15 зубьев. В куче 1001 камень. Ее произвольно делим на две кучи, подсчитываем количества камней в них и записываем произведение этих двух чисел. Затем с одной из этих куч (в которой больше одного камня) проделываем ту же операцию: делим на две и записываем произведение чисел камней в двух вновь образованных кучах. Затем ту же операцию повторяем с одной из трех полученных куч и так далее, пока во всех кучах не станет по одному камню. Чему равна сумма 1000 записанных произведений? В колоде 30 карт. Среди них 10 красных, 10 желтых и и 10 синих. Карты каждого цвета помечены числами 1, 2, … , 10. Оставшиеся 2 карты – джокеры, которые помечены числом 0. арта, помеченная числом k, стоит 2k очков. Группа карт называется  хорошей, если сумма очков карт этой группы равна 2010. Найдите количество хороших групп карт. Дана полоска 1?100, в котором каждая клетка либо белая, либо черная. За одну операцию можно перекрасить клетки в любом прямоугольнике. За какое наименьшее число операций можно наверняка сделать всю полоску белой? В ряд выложены карточки с числами  1, 2, …, n. За одну операцию можно поменять местами некоторые два соседних числа. За какое наименьшее число операций можно выложить карточки в обратном порядке?