МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ДАГЕСТАН
ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЁННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ ДЕТЕЙ - ИНВАЛИДОВ»
МАСТЕР – КЛАСС
тема:
«Построение сечений тел плоскостями»
Подготовила: ,
учитель математики и информатики
ГКОУ «РЦДОДИ», МБОУ
«Гимназия №11» г. Махачкала.
2016
Тема мастер – класса:
«Построение сечений тел плоскостями»
Учитель математики и информатики ГКОУ «РЦДОДИ»,
МБОУ «Гимназия №11» г. Махачкала.
Эпиграф:
«Среди равных умов при одинаковости прочих условий превосходит тот, кто знает геометрию». Б. Паскаль
Актуальность темы:
Необходимость разработки данного мастер-класса было продиктовано рядом объективных причин. Изучению темы «Сечение многогранников» в программе средней школы отводится минимум часов, что не соответствует объему, необходимого для усвоения материала.
В федеральный перечень учебников по геометрии для 10 - 11 классов входят учебники авторов:
- , , и др. (Геометрия, 10-11); (Геометрия, 7-11); , , (Геометрия, 10-11); (Геометрия, 10-11); (Геометрия, 10-11).
Рассмотрим подробнее учебники и
В учебнике на тему “Построение сечений многогранников” выделено два часа. В 10 классе в теме “Параллельность прямых и плоскостей” после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа “Задачи на построение сечений”. Рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых и плоскостей” завершается решением задач на одном или двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).
В учебнике на построение сечений отводится около трех часов в главе “Многогранники”: один – на изучение темы “Изображение призмы и построение ее сечений”, второй – на изучение темы “Построение пирамиды и ее плоских сечений” и третий – на решение задач. В списке задач, приведенных после темы, задач на сечение насчитывается всего около десяти.
Анализ результатов различных экзаменов, в том числе и ЕГЭ, показывает, что основная трудность при решении стереометрических задач связана не только с недостатками, вызванными незнанием формул и теорем или неумением их применять, сколько с недостаточно развитыми пространственными представлениями, неумением правильно изобразить пространственную ситуацию, указанную в задаче. Изучение темы «Построение сечений многогранников» предполагает устойчивое развитие пространственного воображения учащихся, необходимое для свободного овладения умением решать стереометрические задачи.
Цель проведения:
Разработка мастер – класса «Методы построения сечений многогранников» предполагает ознакомление с основными методами решения задач на построение сечений многогранников, применение которых способствует осознанию учащимися поэтапного построения сечения многогранника, формирует основы грамотного построения моделей многогранников, развивает пространственное представление и воображение учащихся.
Содержание темы:
Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:
- что значит построить сечение многогранника плоскостью; как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость; как задается плоскость; когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.
Секущая плоскость может быть задана различными способами:
- тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой, не лежащей на ней; двумя параллельными прямыми; двумя пересекающимися прямыми.
Построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы:
- построения следов;
- метод внутреннего проектирования.
- комбинированный метод
Метод построения следов состоит в том, что на плоскости нижнего основания многогранника (иногда на какой-либо другой плоскости), выполняется построение следов (линий пересечения секущей с плоскостью). С помощью этих следов легко выполняется построение точек пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.
Одним из недостатков метода следов является тот факт, что при малом наклоне плоскости сечения к плоскости основания след оказывается весьма далеко от основной части чертежа. Это вынуждает выполнять изображение многогранника менее крупно, что нежелательно, так как может привести к ошибкам в решении.
Метод внутреннего проектирования не имеет этого недостатка. Каждой точке сечения ставится в соответствие некоторая точка основания рассматриваемого многогранника.
Сущность комбинированного метода состоит в том, что на некоторых этапах построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проецирования, а на других этапах построения этого сечения осуществляется с использованием теорем о параллельности в пространстве и других.
Наиболее часто встречающиеся задачи – это задачи на построение сечений в пирамиде, параллелепипеде, призме. При исследовании расположения секущей плоскости в многограннике сечением могут быть разные многоугольники.
Многообразие задач требует их систематизации. Для чего она нужна? Чтобы к каждой группе задач иметь свои алгоритмы, методы решения.
Можно провести классификацию задач.
Задачи можно условно классифицировать по шести группам:
Нахождение площади сечений в многогранниках. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многогранниках. Определение угла между плоскостями. Отношение объемов частей многогранника. Нахождение угла между прямой и плоскостью. Нахождение расстояния между прямой и плоскостью.В открытом банке задач ЕГЭ в разделе геометрия представлены задачи на эти группы.
Заключение:
С раннего детства мы сталкиваемся с сечениями. Волшебный мир сечений всегда рядом. Режем продукты, обстругиваем палочку или карандаш ножом. Секущей плоскостью во всех этих случаях является плоскость ножа. Сечения оказываются различными.
На практике мы рассекаем данный предмет на две части, которые можем взять и хорошо рассмотреть отдельно друг от друга. Другое дело – сечения геометрических фигур на листе бумаги. Мы будем иметь только изображение пространственной фигуры и её сечения на плоскости. Иными словами, рассмотреть отдельно две части фигуры нельзя. Вот здесь нам помогут наши пространственные представления, которые развивались на протяжении изучения курса черчения, уроков планиметрии и стереометрии. Хочу пожелать вам и вашим детям успехов на ЕГЭ по математике, чтобы ребята справились с задачей на сечение.
Тема: Построение сечений геометрических тел плоскостями.
Цели урока
- Образовательные: формирование умений и навыков построения сечений геометрических тел различными плоскостями; закрепление алгоритма построения сечений и отработка навыков построения сечений многогранников; Воспитательные: умения работать индивидуально над поставленными задачами, воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний; Развивающие: формирование и развитие пространственного воображения, развитие графической культуры и математической речи.
Задачи урока: изучение методов построения сечений многогранников; научиться строить сечения геометрических тел различными плоскостями; закрепление умений и навыков построения сечений различными методами в ходе решения позиционных задач.
Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.
Форма урока - лекция - практикум.
Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, модели многогранников.
План урока:
Организационный момент. Мотивация Актуализация опорных знаний. Изучение нового материала. Закрепление изученного материала. Подведение итогов урока.ХОД ЗАНЯТИЯ
1. Организационный момент
Вступительное слово учителя.
Учитель: Здравствуйте ребята. В начале XX века великий французский архитектор Ле Корбюзье сказал: «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия».
Эти слова очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту окружающего мира помогает предмет – геометрия и особенно раздел – стереометрия. Сегодня у нас урок геометрии.
Домашнее задание было решить задачи по геометрии из КИМов ЕГЭ: задания № 3, 6, 8 и 14.
Какие у вас возникли проблемы при выполнении домашнего задания, ваши вопросы?
Ученик: Основные проблемы возникли при построении сечений многогранников (Задание 14).
Учитель: Понятно. Тема сегодняшнего урока: «Построение сечений геометрических тел плоскостями».
Сегодня мы постараемся закрепить и расширить уже имеющиеся у вас представления по теме: «Построение сечений». Откройте ваши тетради и запишите тему урока (Слайд 1)
Что вы ожидаете получить сегодня на уроке урока?
Ученик: (Слайд 2). Повторим некоторые аксиомы, определения и теоремы стереометрии, методы построения сечений; научимся строить сечения геометрических тел различными плоскостями.
2. Мотивация.
Учитель: Мы с раннего детства сталкиваемся с сечениями (Слайд 3). Режем хлеб, колбасу, картофель, масло. Секущей плоскостью является нож. Плоскости сечения оказываются различными. На практике мы рассекаем данный предмет на две части, которые можем рассмотреть отдельно друг от друга. Другое дело - сечение геометрических фигур на месте бумаги.
Перейдем к повторению знакомого нам материала
3. Актуализация опорных знаний
Устная фронтальная работа по вопросам теории данной темы, с целью актуализации знаний. Повторение изученного материала: аксиом стереометрии, следствий из аксиом, способов задания плоскостей, терминов и определений, связанных с геометрическими телами.
Учитель: Перейдем к повторению знакомого нам материала.
1) Что вы понимаете под геометрическим телом?
Ученик: (Слайд 4).
Геометрическое тело — это замкнутая часть пространства, ограниченная плоскими или кривыми поверхностями.
Учитель: 2) На какие группы можно разделить геометрические тела?
Ученик: (Слайд 5).
Все геометрические тела можно разделить на две группы: многогранники (куб, призма, параллелепипед, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар). Форма каждого тела имеет свои характерные признаки.
(Слайд 6) Каждое гранное геометрическое тело имеет грани, ребра и вершины.
(Слайд 7) Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.
7) Сколько необходимо точек, чтобы провести прямую на плоскости?
8) Какая фигура получается при пересечении двух плоскостей?
8) Сформулируйте аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.
9) Сформулируйте свойство параллельных плоскостей.
Демонстрация иллюстраций аксиом стереометрии и свойств параллельных плоскостей в презентации к уроку. (Слайды 2, 3, 4)
Повторение формулировки аксиом А1 А2, А3.
А1 Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в плоскости.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Что значит построить сечение многогранника?Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.
Секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры.
Как можно задать секущую плоскость3 точками, прямой и не лежащей на ней точкой, 2 параллельными прямыми, 2 пересекающимися прямыми)
На самом деле при пересечении секущей плоскости и многогранника могут получаться различные фигуры: точка, отрезок, пустая фигура.
Если при пересечении секущей плоскости и многогранника получается многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.Проведем небольшое исследование. Цель исследования: установить, сколько сторон может иметь сечение различных многогранников?
Треугольная пирамида. n=3, 4.
Четырехугольная пирамида. n=3, 4, 5.
Поместите три точки сначала на ребра а) АА1, АВ, АД,
а затем на ребрах б) СС1, С1Д1, С1В1.
Какие фигуры получаются при построении сечения и какую можно увидеть закономерность? (Точки располагаются на ребрах, выходящих из одной вершины; треугольники)
А теперь давайте посмотрим, какая фигура или фигуры получаются, если точки поместить на параллельных ребрах параллелепипеда?
Выполнить задание 3.3.Возьмите инструмент «стрелка» и подвигайте точку L вдоль ребра ВВ1.(четырехугольник или пятиугольник)
Какое свойство использовалось при построении данных сечений?
Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда по отрезкам, то эти отрезки параллельны.
3. Изучение нового материала
При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью, поэтому необходимо уметь строить на чертеже их сечения различными плоскостями.
1) Определение секущей плоскости
Секущей плоскостью многогранника называют такую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
2) Сечения тетраэдра и параллелепипеда
Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.
Демонстрация сечений тетраэдра и параллелепипеда. (Слайд 5)
3) Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, сформулировать следующим образом: если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.
4) Алгоритм построения сечений многогранников:
а) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые;
б) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую;
в) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки, и провести через них прямую;
г) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.
5) Примеры построения сечений тетраэдра и параллелепипеда
Демонстрация презентации с решениями задач №1 и №2, где учитель подробно объясняет каждый пункт построения сечений. (Слайды 6, 7)
Задача №1. Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки D, E, К, где DAB, ESA, KSС.
Задача №2. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, где PD1C1, KA1D1, МВС.
4. Закрепление изученного материала
1) Устная работа
Учащимся предлагается фронтально решить задачу №3, представленную в презентации. На экране в каждом пункте построения сечения появляется несколько вариантов действий, только один из них правильный, если выбран неверный вариант – с помощью гиперссылки возврат назад. (Слайды 8-27).
Задача №3. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, где ТСС1, НDD1, МАВ.
2) Решение задач на построение сечений
Для решения задач №4, №5, №6 и №7 чертежи тетраэдра и параллелепипеда подготовлены заранее на отдельных листах.
Один учащийся решает задачу №4 с помощью мультимедийного проектора, комментируя и объясняя последовательность построения сечения, а все остальные вместе с ним строят сечение на готовых чертежах. (Слайд 28)
Задача №4. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K, где ЕАА1, FА1B1, KB1C1.
Задачи №5 и №6 учащиеся выполняют самостоятельно в парах на готовых чертежах, проверка построения сечений и обсуждение действий осуществляется с помощью мультимедийного проектора. (Слайды 29, 30)
Задача №5.Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, где КSС, МSА, РАВС.
Задача №6. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, где КB1C1, L АА1, МAD.
3) Самостоятельная работа на построение сечения
Учащиеся самостоятельно выполняют задачу №7, верно выполнившие задания получают оценки.
Задача №7. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L, где FAD, K D1C1, L СС1. (Слайд 31)
Правильность построения сечения в задаче №7 осуществляется с помощью мультимедийного проектора. (Слайд 32)
Метод следов
Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.
Метод внутреннего проектирования
Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы секущей плоскости) оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственные». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.
Комбинированный метод
Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.
Повторение алгоритма построения сечений. Оценивание работы учащихся.
- Итак, сегодня на уроке мы научились строить сечения тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями по заданным точкам.
1) Какие многоугольники являются сечениями тетраэдра и параллелепипеда?
2) Какие правила необходимо соблюдать при построении сечений многогранников?
3) Сформулируйте алгоритм построения сечений многогранников.
Выставить и прокомментировать оценки учащихся. Отметить, с чем учащиеся справились, успешно, а на что нужно еще обратить внимание.
6. Домашнее задание
п.14. №71(а, б), №72 (а), № 81(а, б)
Список литературы:
1. , и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. – М: Просвещение, 2007.
