Справочные материалы для повторения курса планиметрии 7 -9 класса в 10 классе

Четырехугольники.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма углов всякого выпуклого четырехугольника равна 360⁰.

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Перпендикуляр, опущенный из любой точки стороны параллелограмма, противоположной его основанию, на прямую, содержащую основание, называется высотой параллелограмма

Характеристические свойства (свойства и признаки параллелограмма)

Две противоположные стороны четырехугольника  равны и параллельны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник параллелограмм Противоположные стороны четырехугольника  попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник – параллелограмм Противоположные углы  четырехугольника  попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник – параллелограмм Диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам тогда и только тогда, когда этот четырехугольник – параллелограмм Сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна сумме квадратов его сторон тогда и только тогда, когда этот четырехугольник – параллелограмм

Свойства параллелограмма

1)Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника

2)Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины его тупого угла, равен острому углу параллелограмма, а угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины его острого угла, равен тупому углу параллелограмма

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3) Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник

4) Сумма углов, прилежащих к стороне параллелограмма равна 180 ⁰

Прямоугольникам называется параллелограмм, у которого все углы прямые

Характеристическое свойство: диагонали параллелограмма равны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм – прямоугольник.

Т. К. прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны

Характеристические свойства

Диагонали ромба делят его углы пополам тогда и только тогда, когда этот параллелограмм – ромб

2)Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм – ромб

Т. к. ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны

Т. к. квадрат является ромбом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма и ромба

Диагональ ромба в раз больше его стороны

Трапецией называется четырехугольник две стороны, которого параллельны, а две другие не параллельны

Параллельные стороны – основания. Не  параллельные – боковые стороны. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной

Трапеция, один из углов которой равен 90⁰, называется прямоугольной

Перпендикуляр, опущенный из любой точки одного из оснований трапеции, на прямую, содержащую другое ее основание, называется высотой трапеции

Свойства трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Отрезок, заключенный между боковыми сторонами трапеции, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения ее диагоналей, есть среднее гармоническое оснований трапеции. (Средним гармоническим двух положительных чисел а и в называется такое число с, что  )  или с =   )

Середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, лежат на одной прямой

Свойства равнобедренной трапеции

Диагонали трапеции равны тогда и только тогда, когда  эта трапеция равнобедренная

Углы при каждом основании трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная

Высота, опущенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований (средней линии, а меньший – полуразности оснований

Теорема Вариньона. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого равны половинам диагоналей данного четырехугольника, а площадь – половине площади данного четырехугольника

ПЛОЩАДИ НЕКОТОРЫХ ФИГУР(R  - радиус описанной окружности,  r – радиус вписанной окружности, р – полупериметр, h –высота, d-диагоналль)

Квадрат S =a2  = 2R2 =4r2  =0,5 d2  . Прямоугольник S=ab = d2 sinб. Параллелограмм S = aha = ab sinб

Ромб  S = =sinб = aha  .Трапеция  S = h =(cр. лин.)∙h. Любой четырехугольник S = d1  d2 sinб

Многоугольники. Сумма внутренних углов четырехугольника (n-2)∙180⁰. Сумма внешних углов четырехугольника 360⁰.

Многоугольник правильный, если у него все стороны и все углы равны между собой. У правильного многоугольника центральный угол  б=360⁰:n, внешний угол в=360⁰:n, внутренний угол

Г = 180⁰-в

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности.

  Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

  Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис этого многоугольника. 

  В многоугольник можно вписать окружность, если его биссектрисы пересекаются в одной точке. В любой треугольник можно вписать окружность. В правильный многоугольник можно вписать окружность.

  Вписанная окружность касается сторон правильного многоугольника в серединах его сторон.

В четырехугольник можно вписать окружность<=>, когда суммы его противоположных сторон равны.

Вписанный треугольник, опирающийся на диаметр - прямоугольный

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника  принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров многоугольника.

Около многоугольника можно описать окружность, если его серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Около любого треугольника можно описать окружность. Около четырехугольника можно описать окружность, ⬄ когда суммы его противоположных углов равны 180⁰. Около трапеции можно описать окружность ⬄ когда она равнобедренная.

Теорема Птоломея. Произведение диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений противоположных сторон этого четырехугольника.