Несколько задач повышенной трудности предлагаемые для использования на уроках и дополнительных занятиях при изучении тем 7, 8  классов по формулам сокращенного умножения.

Предлагается комбинированная группа задач с преобразованием выражений.

Докажите, что: а) если р - простое число и р >3, то р2 - 1  делится на 24; б) если а+b+c делится на 6, то a2+ b2+ c2 делится на 6 (a, b, c - целые числа); в) если а2 + b2  делится на 7, то а2 + b2 делится и на 49 (а и b - целые числа).

Решение: а) согласно условию р є  , проверим подставив (52-1)=  =(25-1)= 2424.
  Проверив частный случай, а теперь попробуем доказать общий, для этого преобразуем по формуле сокращенного умножения выраж-е р2-1= (р-1)(р+1). Тогда (р-1)(р+1), так как р - простое нечетное число, р-1 и р+1 являются соседними и четными, теперь  разложим до простых множителей число 24, 24=2*2*2*3= 23*3, а по условию р 5, то количество простых множителей равных 2 достаточно для сокращения с 23 , и простой множитель 3 тоже присутствует в одном из двух четных чисел.

б) если  (a+b+c), то (a3+b3+c3), при a, b, c . Преобразуем используя формулы сокращенного умножения a3+ b3 + c3 = (a+ b+ c)(a2+ b2 + c2 – ac - bc - ab) + 3abc,  здесь первое слагаемое a+ b + c  делится на 6 по условию, а второе слагаемое имея множитель 3 разделится на 6 , если произведение  abc делится на 2, а оно делится на 2 , т. к.  a + b + c делится на 6, значит одно из слагаемых четное число.

в) если а2+ b2 делится на 7, то a2+ b2 делится на 49 (a, b - целые числа).
  В данном случае преобразования над выражением а2+ b2 вряд ли возможны, переход на рассуждения: сумма а2 и b2  не делится на 7, если и делится, притом нацело и с целыми  а и b, трудный поиск. Тогда если а2 не  делится на 7 и b2 не делится на 7, значит это выполнимо, только в том случае если а и b.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В таком случае (а2+b2) , только в случае если а, и b.

Разложение на множители:
а) х4 + 4;  Для этого добавим взаимоудаляемые слагаемые, тогда х4+4 = х4+4х2+4 – 4х2 = (х2+2)2 – 4 х2= (х2+2 -2х) (х2+2 + 2х); 

б) Решение аналогично предыдущему примеру х4 + х2 + 1 = х4  + х2 + х2 + 1 – х2 =( х4+ 2х2 +1)-  -  х2 = (х2 + 1)2 – х2 = (х2 + 1 – х)(х2  + 1 + х);
в) х5 + х + 1; Рассмотрим  пример 2 б) состоящем их трех слагаемых, но с нечетными степенями переменных, но результат состоит из множителей из трех слагаемых, значит множители этого примера можно подобрать: х5+ х + 1= (х3 – х2 + 1)(х2+ х + 1) = х5 + х4 + х3 – х4 – х3 – х2 + х2+ х + 1 = х5+ х + 1.
г)(x+y+z)3 – x3 – y3 – z3;  д) x3 + y3 + z3 – 3xyz;

3.  Доказать методом математической индукции:
а) 12 + 22 + 32 + … + n2 = ; ( n.
Проверим подставив вместо n натуральные числа
при n=1,  12  = ,  1= 1 = 1.
при  n=2,  12 + 22  = ;  5=5.
при  n= 3,  12 + 22 + 32 = ,  5+9=,  14=;
при  n= n+1,  12 + 22 + 32 + …n2+ … + (n+1)2 = ; подставим в левую часть вместо суммы квадратов n чисел правую часть доказываемого равенства, тогда
2 = ,
  +  = ,
  Данный пример  не содержит формул сокращенного умножения, но используется правило умножения многочленов и сложения дробно-рациональных выраж-й, заодно учащиеся познакомятся с  методом матем. индукции.
б)  12 + 32 + 52+ … + (2n – 1)2 = ;
в)  13  + 33 + 53 +…+ (2n – 1)3 = n2 (2n - 1)2;

Упр. № 000.

Дан прямоугольник со сторонами а и b, к сторонам пристроены квадраты, площадь одного больше другого на 95 см2, одна сторона прямоугольника больше другого на 5 см.

Согласно условию задания:    подставив вместо  a = b + 5,

(b+5)2 = b2 + 95, 
b2 + 10b + 25 = b2 + 95,  =  + 95 cм2 
  10 b = 70, 
b=7,  a = 12.  Ответ:  а=12  b=7 

Задача. Из города А в город В вышел поезд. Первые 450 км пути он шел медленнее, чем требовалось по расписанию, на 10 км/ч. На оставшемся участке пути протяженностью 750 км поезд шел быстрее на 8 км/ч, чем надо было по расписанию, и в результате прибыл в город В вовремя. Какова скорость поезда по расписанию?

Расстояние-  S= S1  + S2= 450 км +750 км = 1200 км.
Скорости: I-я часть пути ( v - 10 ) км/ч,  II – я  часть пути ( v + 8 ) км/ч 

Время за весь путь  t = t1 + t2 = (час.)

, решив дробно-рациональное уравнение: приведя к общему знаменателю, получим 
  120 ( v + 8 )( v – 10 ) = 45( v + 8 ) +75( v – 10 ),
  150 v = 9600,  v = 64 км/ч.

Задачи: 1. Числитель дроби на 2 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить  лодки, зная что скорость течения реки 2 км/ч., а знаменатель увеличить на 3, то значение дроби будет равно 0,25. Найдите дробь.

2. Знаменатель дроби на 5 больше числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 1 , а знаменатель оставить без изменения, то значение дроби будет равно 1/3. Найдите дробь.

3. Моторная лодка прошла против течения реки 16 км и вернулась обратно на 40 мин меньше, чем на путь против течения. Найдите  собственную скорость

Задания:

Докажите, что натуральное число вида а2 + 1 делится на а + 1. Докажите, что натуральное число вида  n2 + 5 n + 6 делится на n + 2. Докажите, что трехзначное число, записанное  тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.