Задание 18 Каталог заданий. Логические высказывания
1. Задание 18 № 000. Для какого имени ложно высказывание:
(Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная).
1) ЕЛЕНА
2) ВАДИМ
3) АНТОН
4) ФЕДОР
Пояснение.
Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. В нашем случае — если первая буква имени гласная и четвертая буква гласная. Этому условию удовлетворяет имя Антон.
Примечание.
Тот же результат следует из следующих преобразований: (A → B) = ( A ∨ B) = A ∧ ( B).
Правильный ответ указан под номером 3.
2. Задание 18 № 000. На числовой прямой даны два отрезка: P = [25; 50] и Q = [32; 47]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула
( (x 
A) → (x 
P)) → ((x 
A) → (x 
Q))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Пояснение.
Преобразуем данное выражение:
( (x 
A) → (x 
P)) → ((x 
A) → (x 
Q))
((x 
A) ∨ (x 
P)) → ((x не 
A) ∨ (x 
Q))
((x принадл A) ∨ (x принадл P)) ∨ ((x не принадл A) ∨ (x принадл Q))
(x не принадл A) ∧ (x не принадл P) ∨ (x принадл A) ∨ (x не принадл Q)
(x не принадл A) ∨ (x принадл Q)
Таким образом, либо x должен принадлежать Q, либо не принадлежать A. Это значит, что для достижения истинности для всех x, необходимо, чтобы A полностью содержался в Q. Тогда максимум, каким он сможет стать, это всем Q, то есть длиной 15.
3. Задание 18 № 000. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 35] и Q = [17, 48].
Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула
((x 
A) → (x 
P)) → ((x 
A) → (x 
Q))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Пояснение.
Преобразуем данное выражение.
((x € A) → (x принадл P)) → ((x принадл A) → (x принадл Q))
((x не принадл A) ∨ (x не принадл P)) → ((x не принадл A) ∨ (x принадл Q))
((x не принадл A) ∨ (x не принадл P)) ∨ ((x не принадл A) ∨ (x принадл Q))
Верно, что A ∧ B ∨ A = A ∨ B. Применим это здесь, получим:
(x принадл P) ∨ (x не принадл A) ∨ (x принадл Q)
То есть либо точка должна принадлежать Q, либо принадлежать P, либо не принадлежать А. Это значит, что А может покрывать все точки, которые покрывают P и Q. То есть A = P 
Q = [10, 35] 
[17, 48] = [10; 48]. |A| = 48 - 10 = 38.
4. Задание 18 № 000. Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}.
Известно, что выражение
((x 
A) → (x 
P)) ∨ ((x 
Q) → (x 
A))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A.
5. Задание 18 № 000. Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}.
Известно, что выражение
((x 
A) → (x 
P)) ∨ ((x 
Q) → (x 
A))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A.
6. Задание 18 № 000. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула
ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 21) ∧ ДЕЛ(x, 35))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменнойx)?
(Задание нецовой)
7. Задание 18 № 000. Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 & 5 = 11102 & 01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
x & 29 ≠ 0 → (x & 12 = 0 → x & А ≠ 0)
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?
8. Задание 18 № 000. Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 & 5 = 11102 & 01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
x & 29 ≠ 0 → (x & 17 = 0 → x & А ≠ 0)
тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?
9. Задание 18 № 000. Для какого имени истинно высказывание:
Третья буква гласная → (Первая буква согласная \/ В слове 4 гласных буквы)?
1) Римма
2) Анатолий
3) Светлана
4) Дмитрий
Пояснение.
Применим преобразование импликации:
Третья буква Согласная ∨ (Первая буква Гласная ∧ В слове НЕ 4 гласных буквы)
Дизъюнкция истинна, когда истинно хотя бы одно высказывание. Следовательно, подходит только вариант 1.
10. Задание 18 № 000. Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная → последняя буква согласная) /\ (первая буква гласная → последняя буква гласная)?
Если таких слов несколько, укажите самое длинное из них.
1) АННА
2) БЕЛЛА
3) АНТОН
4) БОРИС
Пояснение.
Логическое И истинно только тогда, когда истинны оба утверждения.(1)
Импликация ложна только тогда, когда из истины следует ложь.(2)
Вариант 1 подходит по всем условиям.
Вариант 2 не подходит из за условия (2).
Вариант 3 не подходит из за условия (2).
Вариант 4 подходит по всем условиям.
Необходимо указать самое длинное из слов, следовательно, ответ 4.
Задания для самостоятельного решения
1. Задание 18 № 000. Какое из приведенных названий стран удовлетворяет следующему логическому условию: ((последняя буква согласная) \/ (первая буква согласная)) → (название содержит букву «п»)?
1) Бразилия
2) Мексика
3) Аргентина
4) Куба
2. Задание 18 № 000. Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию:
(Первая буква гласная) ∧ ((Четвёртая буква согласная) ∨ (B слове четыре буквы))?
1) Сергей
2) Вадим
3) Антон
4) Илья
№3
№4 
№5. Задание 18 № 000. Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию
Первая буква гласная ∧ Четвёртая буква согласная ∨ В слове четыре буквы?
1) Сергей
2) Вадим
3) Антон
4) Илья
Ответы
№ задания | №1 | №2 | №3 | №4 | №5 |
Ответ | 3 | 4 | 3 Числа 6,12,18 | 13 | 4 |
