Об использовании преобразовании Фурье при построении изображений

Денис Аркадьевич Сосновский, 

Студент, ЗабИЖТ, Россия, Чита

(Науч. рук. )

Об использовании преобразовании Фурье при построении изображений

Преобразование Фурье является важным разделом математики, используемым в различных областях знаний. Иногда его применяют, как способ решения сложных задач, предполагающих динамические процессы. В других случаях оно дает возможность рассматривать постоянные составляющие в колебательном сигнале, что находит свое применение и в физике, и в медицине, и в музыке, и даже при построении изображений, ретушировании фотографий. Данное преобразование ввел в рассмотрение французский математик Жан Батист Жозеф Фурье, в его часть назвали преобразование и знаменитый ряд Фурье. Он применял данное преобразование для изучения теплопроводности. Однако основным составляющим преобразования Фурье являются волновые процессы, которые находят свое применение во всех областях человеческой жизнедеятельности.

Так, рассмотрим применение ряда Фурье при построении изображений. Ряды Фурье применяют при построении изображений.  Пусть, например, дано изображение с маленьким разрешением. Нам необходимо его увеличить в 2 раза, но так, чтобы гладкие линии остались гладкими и четкими. [1] предлагает это сделать следующим образом. Нужно превратить изображение в сеточную функцию. Каждая точка рисунка имеет яркость, задаваемую в формате. bmp целочисленным значением от 0 до 255. Назовем полученную функцию f(x, y) и воспользуемся формулами частичных сумм двойного ряда Фурье по косинусам:

  (1)

где - ширина рисунка, а - его высота.

Подставляя различные значения m и n можно убедиться, что при возрастании значений m и n, рисунок становится все более четче и четче.

это объясняет тем что «это происходит по причине накопления погрешностей округления в процессе счета, которые с какого-то момента начинают превосходить величины слагаемых ряда. Ведь общий член ряда Фурье стремится к нулю, в то время как погрешности округления, как раз напротив, с каждым шагом накапливаются. Человеческий глаз легко определит, что из всех полученных при помощи ряда Фурье картинок наилучшими по качеству являются те, у которых параметры m и n лежат в пределах от 90 до 110». Что определяют данные параметры? Из формулы (1), числа m и n определяют пределы суммирования. Можно вычислить, что количество слагаемых в сумме, стоящих в правой части (1.1), равно (2m + 1) (2n + 1). В частности, при m = n = 10, число слагаемых в сумме равно 441, при m = n = 100, оно равно 40401, а при m = n = 200, это число становится уже 160801.

Таким образом, после применения ряда Фурье, мы наблюдаем, каким четким стало изображение, например, какие-либо более мелкие детали. Но, появился периодический «шум», из-за того мы пренебрегаем слагаемыми с более высокой частотой, чем последнее слагаемое. Этот эффект называется эффектом Гиббса. Он определяется тем, что «в окрестности точек разрыва ряд Фурье сходится неравномерно, и это проявляется в том, что у суммы конечного числа членов ряда Фурье есть характерные всплески в окрестности точки разрыва исходной функции, частота которых увеличивается с увеличением числа слагаемых конечной суммы ряда 1» [1]. И ещё большая доля шума, появившегося в полученных через ряд Фурье изображениях, порождена чёрной рамкой у исходного рисунка. Если её сделать белой, то разрыв, а следовательно и эффект Гиббса будут меньше.

Анализируя данную публикацию [1] можно наблюдать достаточно простой и интересный пример, использования ряда Фурье. Автор, как можно понятнее и интереснее, попытался донести данный материал для рассмотрения и изучения темы применения ряда Фурье.

Список литературы:

Применение ряда Фурье для аппроксимации изображений. Режим доступа: http://tkachenko-mephi. narod. ru/pdfs/ia. pdf.