Методические рекомендации, разработка урока на тему «Показательная функция»

Методические рекомендации, разработка урока на тему

«Показательная функция»

Содержание

1.        Математические основы темы «Показательная функция»____________3

2.        Дидактический анализ темы ____________________________________3

2.1        Цели изучения темы ________________________________________3

2.2        Ведущие понятия темы и их определения ______________________4

  2.3 Ведущие (базовые) умения по теме и алгоритмическое предписание к ним____________________________________________________________4

  2.4 Выделение и решение ключевых задач темы_____________________6

3.        Технологическая карта темы ___________________________________7

4.  Разработка урока  по теме «Показательная функция, ее  свойства и график» с учетом современных требований к урокам математики и компьютерной презентации к нему_______________________________________________12

5.        Комплект КИМ _______________________________________________22

Список используемой литературы

Математические основы темы «Показательная функция»

- Показательная функция (область определения показательной функции, множество значений);

- показательные уравнения;

- показательные неравенства;

- системы показательных уравнений и неравенств.

Дидактический анализ темы
Цель изучения темы

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. , и др.

Тема: Показательная функция

Цели изучения темы:

Образовательные:

обеспечить усвоение учащимися знаний о показательной функции, её свойствами и графиком, научить решать показательные уравнения и неравенства, системы, содержащие показательные уравнения.

Развивающие:

развитие памяти учащихся; развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие логического мышления, внимания и умения работать в проблемной ситуации.

Воспитательные:

развитие познавательного интереса учащихся; развитие любознательности учащихся; развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели;

Ведущие понятия темы и их определения.

Показательной функцией называется функция у = ах, где а – заданное число, а > 0, а ≠ 1

Область определения показательной функции – множество R всех действительных чисел.

Множество значений показательной функции – множество всех показательных чисел.

Показательная функция у = ах является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1.

Показательные уравнения – уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах = аb, где  а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием  а > 0, а ≠ 1 равны только тогда, когда равны их показатели.

Показательные неравенства – неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных неравенств сводится к решению неравенств ах > аb или ах < аb.

Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции: для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции соответствует меньшее значение аргумента.

Ведущие (базовые) умения по теме и алгоритмическое предписание к ним.

Знания и умения:

- Учащиеся должны  уметь решать показательные уравнения и неравенства, системы, содержащие показательные уравнения, применять свойства показательной функции при выполнении задания типа «Сравнить выражения».

- Учащиеся должны знать определение показательной функции, ее свойства и график, знать определения и способы решения показательных уравнений и неравенств.

Методы решения показательных уравнений

Функционально – графический; Разложение на множители; Замена переменной; Логарифмирование.

В зависимости от метода решения все показательные уравнения можно разделить на следующие группы:

Первая группа – уравнения, обе части которых представимы в виде степени с одинаковым основанием:

аf(x) = аg(x) ↔

Пример:

Метод решения этого уравнения основан на свойстве монотонности показательной функции.

Вторая группа – уравнения, содержащие степени с одинаковым основанием, показатели которых содержат общую часть с неизвестным и отличаются на число:

Такие уравнения решаются разложением на множители, в результате сводятся к решению уравнений 1 или  4 группы.

Пример:

Третья группа – рациональные уравнения относительно выражения af(x), вида g(af(x)) = 0, решаемые методом замены.

Такие уравнения сводятся к квадратным -

Пример:

или к дробно – рациональным,

Пример:

или однородным.

Пример:

Четвертая группа – уравнения, одна часть которых имеет вид степени с неизвестным в показателе, а вторая непредставима в виде такой степени.

Уравнения вида af(x) = b, решаемые методом логарифмирования.

Пример:

Уравнения вида af(x) = g(x), решаемые графически.

Пятая группа – уравнения, в которых неизвестная содержится как в основании, так и в показателе степени.

f(x)g(x)=1;  2) f(x)g(x)=b;  3) f(x)g(x)=f(x)h(x)

Уравнения этой группы решаются либо логарифмированием, либо методом замены на равносильную совокупность систем уравнений и неравенств.

Выделение и решение ключевых задач темы.
Решите уравнение 3х = 27

Решение: исходя из свойств заданной функции, данное уравнение имеет один корень, так как 27 > 0. Одним из корней является число х = 3, так как 33 = 27. Других корней нет, так как функция у =3х возрастает на всей числовой прямой, а это значит, что 3х > 27 при х > 3 и 3х < 27 при х < 3.

Ответ: х=3

Решите уравнение

Решение: вынося в левой части за скобки общий множитель 32х-1, получаем 32х-1(1 +3)=108, откуда 32х-1=27, а значит х=2.

Ответ: х=2

Решите неравенство

Решение: Запишем неравенство в виде , так как 3>1, то х2-х<2, откуда х2 –х – 2 <0, -1< x < 2.

Ответ: -1 < х < 2

Решить систему уравнений .

Обозначим 2х=u, 3у=v. Тогда система запишется так:

Решим эту систему способом подстановки u=3v – 5, (3v - 5)2 – 6v + 2 = 0, 9v2 – 36v +27 = 0,v1 =1, v2=3. Найдем значения u: u1 = - 2, u2 = 4. Возвращаясь к принятым обозначениям, получаем, что решением системы являются х = 2, у = 1.

Ответ: (2;1)

Решить систему 

Решим неравенство , получаем, что х-1≤, х ≤ 1,5. Теперь решим уравнение . 3х2 – 2 = 2х2 + х + 4, х1 = -2, х2 = 3. Так как  3 > 1,5, -2 < 1,5, то х = -2.

Ответ: х = -2

Составление технологической карты темы.

Тема: «Показательная функция»

№ п/п	Тема и тип урока	Вид педагогической деятельности. Дидактическая модель педагогического процесса	Педагогические средства	Ведущая деятельность, осваиваемая в системе занятости (на уроке)	Формы организации со взаимодействия на уроке	Планируемые образовательные результаты	Информационно – методическое обеспечение педагогической системы урочной и внеурочной занятости учащихся (ЦОР)	Внеурочная деятельность	Самостоятельная работа
Объем освоения	Компоненты культурно – компетентностного опыта/приобретенная компетентность
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	Показательная функция, ее свойства и график(изучение нового материала)	Комбинированная	Фронтальный опрос, работа с демонстрационным материалом	Информационно - коммуникационная	Индивидуальная по уровню развития интеллекта	Имеют представление о свойствах степени с действительным показателем. Умеют определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции	Могут оперировать свойствами степеней/целостная компетентность	Презентация на тему «Показательная функция»	Поиск информации при помощи интерне – ресурсов. Элективное занятие. Представление результатов индивидуальной или групповой деятельности, в форме сочинения или резюме	Глава3, §11, № 000(3,4), 194(3,4)
2	Показательная функция, ее свойства и график (применение и совершенствование знаний)	Учебный практикум	Фронтальный опрос, решение упражнений	Учебная	Индивидуальная	Знают определения показательной функции. Умеют формулировать ее свойства, Строить схематически любой график показательной функции, описывать свойства любой показательной функции по заданной формуле.	Могут работать с чертежными инструментами/предметная компетенция	Демонстрационный плакат	Глава3, §11, № 000(3,4), 204
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	Показательные уравнения(изучение нового материала)	Проблемное изложение	Построение алгоритма действий при решении показательных уравнений	Учебная	Коллективная	Имеют представление о показательных уравнениях и умеют решать простейшие виды показательных уравнений.	Могут решать нетиповые задачи	Демонстрационный плакат	Проектно-исследовательская деятельность, публичное выступление	Глава3, §12, № 000(2,4,6), 211(2,4)
4	Показательные уравнения (применение и совершенствование знаний)	Учебный практикум	Построение алгоритма действий при решении показательных уравнений	Учебная	Индивидуальная	Знают, как решать показательные уравнения, применяя различные алгоритмы. Умеют решать различные показательные уравнения	Могут правильно оформлять работу/ предметная компетенция	Презентация н а тему «Показательные уравнения»	Глава3, §12, № 000(2,4), 215(2,4)
5	Показательные неравенства (изучение нового материала)	Проблемное изложение	Обучение решению показательных неравенств	Учебная познавательная	коллективная	Имеют представление о показательных неравенствах. Умеют решать простейшие показательные неравенства, используя при этом различные алгоритмы	Могут решать нетиповые задачи, задачи эвристического типа	Демонстрационный плакат	Глава3, §13, № 000(2,4), 231(2,4)
6	Показательные неравенства (применение и совершенствование знаний)	Учебный практикум	Обучение решению показательных уравнений и неравенств различных сложностей	Учебная, познавательная	Индивидуальная	Знают, как решать показательные неравенства, умеют графически изображать решения уравнений.	Могут уверенно действовать в нетиповой ситуации, выполняя действия различного типа	Слайд – лекция «Показательная функция»	Глава3, §13, №23(2,4, 236)
7	Системы показательных  уравнений и неравенств (изучение нового материала)	Проблемное изложение	Учебная познавательная	Коллективная	Знают простейшие способы решения систем показательных уравнений и неравенств	Могут правильно оформлять работу/ предметная компетенция	Глава3, §14, № 000, 243(4,6)
8	Системы показательных  уравнений и неравенств (применение и совершенствование знаний)	Урок - семинар	Фронтальный опрос, обобщение единичных знаний в систему	Учебная	Индивидуальная	Знают и умеют решать нетиповые примеры показательных уравнений, неравенств, систем показательных уравнений и неравенств	Могут на основе комбинирования  ранее изученных алгоритмов и способов действия решать нетиповые задачи	Разно-уровневые дифференцированные задачи	Глава3, §13, № 000
9	Контрольная работа «Показательная функция»	Письменная контрольная работа	Упражнения, практикум	Учебная	Индивидуальная	Демонстрируют знания о показательной функции, ее свойствах, графике. Владеют навыками контроля и оценки своей деятельности. Умеют находить корни показательных уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, применяя различные алгоритмы для их решения	Могут оформлять решения, выполняя перенос ранее усвоенных способов  действий/ предметная компетенция	Разно-уровневые дифференцированные задания	Глава3, № 000, 254
10	Работа над ошибками	Урок - обобщение	Упражнения, практикум, усвоение знаний в систему	Рефлексивная, учебная	Коллективная	Демонстрируют знания о показательной функции, ее свойствах, графике. Владеют навыками контроля и оценки своей деятельности.	Могут правильно оформлять решения, уверенно действуя в нетиповой ситуации	Решение нетиповых задач эвристического типа	Глава3,№ 000, 259

Разработка урока  по теме «Показательная функция, ее  свойства и график» с учетом современных требований к урокам математики и компьютерной презентации к нему.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

Класс: 10 класс

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. , и др.

Цели урока:

Сформировать понятие показательной функции, изучить свойства показательной функции, научиться строить график показательной функции.

Задачи:

Образовательные:

Сформировать понятие показательной функции, ее графика и свойств. Сформировать умение построения графика показательной функции и умение читать свойства функции по графику.

Развивающие:

Развитие познавательного интереса учащихся к предмету. Способствовать развитию математической речи, умению наблюдать, сравнивать, делать выводы.

Воспитательные:

Способствовать развитию анализа, обобщения. Способствовать воспитанию коллективных взаимоотношений, самостоятельности.

Средства обучения: компьютер, проектор, презентация, учебник.

Формы работы учащихся: индивидуальная, фронтальная.

Ход урока:

I  Организационный этап

Сообщение темы урока.

II Актуализация знаний

- Для того чтобы познакомиться с показательной функцией необходимо вспомнить основные свойства степени:

Задание 1: х0,  (у7)4, а3 а12, , (ху)9.

Задание 2:

А теперь давайте вспомним, как определить свойства функции по ее графику.

Найдите:

1) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

2) координаты точки пересечения графика с осью ординат;

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные (отрицательные) значения;

4) промежутки возрастания (убывания) функции.

III Введение нового материала.

- Назовите все функции. Какие функции вам незнакомы? Чем они отличаются от остальных?

- Функции вида у= 3х и у =являются показательными функциями.

- Определение: Функцию вида у=ах, где а>0 и а≠1, называют показательной функцией.

В чем же заключаются свойства показательной функции и как ведет себя график на координатной плоскости?

- Рассмотрим две функции у=2х и у = . Построим каждую из функций.

у=2х

Свойства функции у=2х:

D(f) = (-∞; +∞) E(f) = (0; +∞) Не является ни четной, ни нечетной; Возрастает; Не ограничена сверху, ограничена снизу; Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; Непрерывна; Выпукла вниз.

у =

Свойства функции у = :

D(f) = (-∞; +∞) E(f) = (0; +∞) Не является ни четной, ни нечетной; Убывает; Не ограничена сверху, ограничена снизу; Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; Непрерывна; Выпукла вниз.

- Основные свойства показательной функции

IV Формирование умений и навыков

Задание 1. Укажите вид графика для следующих функций:

Задание 2

Задание 3

Задание 4

- В жизни мы часто встречаемся с показательной функцией, даже не задумываемся об этом, например:

- А теперь закрепим изучение новой темы.

V Постановка домашнего задания

- На этом урок наш заканчивается. Давайте вспомним тему урока, ключевые понятия и свойства.

Комплект КИМ по теме ( тесты, с. р., к. р., м. д. , для входного, текущего, итогового контроля).

Математический диктант №1

1. Продолжите предложение:

Показательной функцией называется функция вида у = …

2. Сформулируйте свойства показательной функции.

3. Изобразите схематически график возрастающей и убывающей

показательной функции.

Математический диктант №2

1. Какая функция называется показательной?

2. Укажите область определения этой функции? Укажите область значения?

3. Постройте схематично график функции у=0,5х.

4. Когда функция возрастает? Когда функция убывает?

5. Написать формулу для умножения степеней с одинаковыми основаниями.

6. Написать формулу для деления степеней с одинаковыми основаниями.

7. Написать формулу для возведения степени в степень.

8. Как возвести в степень произведение?

9. Как возвести в степень дробь?

10. Когда показательное уравнение имеет корни, а когда не имеет?

Тестовая работа

Вариант 1

1.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

610x - 1 = 36.

1) (-4;-1); 2) [-1;0); 3) (0;1); 4) [1;4).

2. Найдите сумму корней уравнения: 49 · 72x - 50 · 7x +1 = 0.

1) 1; 2) 2; 3) -2; 4) 50.

3. Решить уравнение: 2x + 8 = 1/32.

1) 12; 2) -12; 3) -13; 4) 13.

4. Решите неравенство: 2x + 2x + 1 > 6.

1)(1; +∞); 2) [1; +∞); 3) (-1; +∞); 4) [-1; +∞).

Вариант 2

1.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

37x + 6 = 27.

1) (-4;-1]; 2) (-1;0); 3) (0;1]; 4) (1;4).

2. Найдите сумму корней уравнения:

1) -2; 2) 0; 3) 1; 4) 2.

3. Решить уравнение: 3x + 2 + 3x = 90.

1) 0,2; 2) 2; 3) -2; 4) 3.

4. Решите неравенство: 3x + 2 - 3x < 72.

1) (-∞; 2]; 2) (-∞; 2); 3) (-∞; -2]; 4) (-∞; 2).

Вариант 3

Найдите корень уравнения: 4-7-х =4

1) 8; 2) 7;3) -8;4) 11.

Найдите корень уравнения:

1) 0; 2) -4;3) -3;4) 4.

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

  2-8-10х=32
1) [-2; 0]; 2) (0; 2); 3) [1; 5]; 4) (-3; -2).

Найдите сумму корней уравнения 49·72х - 50·7х +1=0

1) -2; 2) 0; 3) 1; 4) 2.
5. Найдите решение (х0 ∙ у0)системы уравнений

и вычислите значение произведения (х0 ∙ у0)
1) 6; 2) 3; 3) -6; 4) -2.

Диагностическая работа (входная контрольная работа)

I вариант

От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси, выйдя на конечной остановке. В таблице приведено время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу от дома до дачи? Ответ дайте в часах. 

Вид  транспорта	Время на дорогу пешком от дома до остановки	Время поездки на транспорте	Время на дорогу пешком  от конечной остановки до дачи
Автобус	2 часа20 минут	10 минут	5 минут
Электричка	15 минут	1 час 55 минут	20 минут
Маршрутное такси	15 минут	1 час 45 минут	40 минут

2. Вычислите значение выражения 

3. Решите уравнение  

4. Найдите область определения функции

Вариант 2

1. Трое решают, как им обойдется дешевле доехать из Москвы в Санкт-Петербург – на поезде или в автомобиле. Билет на поезд стоит 600 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 10 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена на бензин равна 19 рублям за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

2. Вычислите значение выражения 

3. Решите уравнение 

4. Найдите область определения функции

5. Среди чисел , 0,10, 1,8-2, − найдите наименьшее.

Вариант 3

1. Среди чисел 0,70, 0,5-3, , найдите наибольшее.

2. В одной системе координат постройте схематически графики функций  у= х-4 и . Запишите координаты их общих точек (если они существуют). 

3. Найдите все значения х, при которых равны значения выражений х+2и .

4. Упростите выражение

Самостоятельная работа

Вариант 1

Какое из чисел -2, 0,1 является корнем уравнения 25х = 25х Решите уравнение 

а) 0,35-2х = 0,09  б) 225 ∙ 152х+1 = 1

3. Решите неравенство

4. Решить графически уравнение  3х = 2х + 1

Вариант 2

1.Какое из чисел 3,0,-1 является корнем уравнения

2.Решите уравнение

а)   б) 17х ∙ 17х+5 = 17

3. Решите неравенство

4. Решить графически уравнение

Вариант 3

Решите уравнение 3х-2 – 3х-3 = 6 Решите неравенство

а) 4х +2х+1 – 80 < 0  б) 9х – 7 ∙ 3х – 18 < 0

3. Решить графически уравнение

4. Решить графически неравенство

Итоговая контрольная работа

Вариант 1

1. Сравните числа:   б)

2. Решите уравнение   

3. Решите неравенство б) .

4. Решите систему уравнений

5. Решите уравнение:

Вариант 2

1. Сравните числа:   б)

2. Решите уравнение   

3. Решите неравенство .

4. Решите неравенство:  

5. Решите систему уравнений

6. Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение

а) б) 4х +2х  - 20=0

2. Решите неравенство

3. Решить систему неравенств

4. Решить неравенство

а)   б)

5. Решить уравнение 7х+1 + 3 ∙ 7х = 2х+5 + 3∙ 2х

Список используемой литературы:

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник для общеобразовательных школ. Базовый уровень./ , и др. - Москва. Просвещение. 2014 год. 464 с. Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Дидактические материалы. Базовый уровень. /, , .- Москва. Просвещение. 2013 год. 207 с. Контрольно-измерительные материалы. Алгебра и начала анализа 11 класс./ , М. Вако, 2011. 112 с Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 классы./ , ,  - М.: Дрофа, 2002. . Теория и методика обучения математике. Курс лекций по методике изучения алгебры и начал анализа в старших классах не математического профиля.- Калуга, 2005. , Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности. - М.: Просвещение, 1990.