Идентификация мультитрендовой эволюционирующей модели с мультипликативной линейно-экспоненциальной структурой

УДК 338.27

© 2014 ,

Идентификация мультитрендовой эволюционирующей модели с мультипликативной линейно-экспоненциальной структурой

В статье рассмотрены различные варианты мультрендовой структуры модели, предложена модель жизненного цикла на основе мультипликативного взаимодействия линейного и экспоненциального тренда. Охарактеризована область применения модели. Предложены методы идентификации модели и проведено исследование их точности, выбран наилучший метод идентификации, обеспечивающий точность модели по R2 свыше 0,75, а ошибку прогноза по kT2 менее 20% при уровне шума Kn/s 0-30%.

Ключевые слова: мультитрендовая модель, эволюция, жизненный цикл, идентификация, алгоритм RPROP, метод «имитации отжига».

Одной из широко распространенных задач эконометрического моделирования является идентификация параметров тренда , различной степени сложности, как с линейным, так и с нелинейным вхождением параметров. Число применяемых моделей тренда велико и исчисляется десятками.

Менее распространенными являются мультитрендовые [1] структуры рядов динамики, включающие в себя несколько взаимосвязанных или независимых трендов.

Наиболее простым вариантом является алгебраическое взаимодействие двух трендов, например, аддитивное, мультипликативное или пропорционально-мультипликативное:

       ,        (1)

       ,        (2)

       .        (3)

Такие структуры позволяют описывать сложную эволюционирующую динамику, когда-либо один тренд постепенно сменяется другим, либо формируется новая динамика, существенно отличающаяся от динамики исходных трендов и .

Взаимодействие вида (1) и (3) в большей степени соответствует первому случаю эволюционирующей динамики, если модели трендов и имеют асимптотические уровни. Примеры такой динамики представлены на рисунке 1. График (а) соответствует сумме экспоненциальных трендов, график (б) – сумме импульсных дробно-рациональных трендов, а график (в) – пропорциональному взаимодействию обобщенной экспоненциальной и импульсной модели. В каждом случае можно отчетливо визуально выделить на графике участки, на которых доминирует одна из составляющих тренда. Эволюция проявляется в виде постепенного перехода от одной доминирующей модели тренда к другой.

Рис. 1. Примеры взаимодействия трендов вида (1) и (3) со сменой доминирующего тренда

Второй случай чаще может быть представлен структурой (2). При этом в итоговом графике сложно или невозможно выделить участки, соответствующие исходным моделям. Тем не менее, полученная динамика также может быть эволюционирующей, с выделением участков эволюции за счет точек экстремума, перегиба и асимптотических уровней. На рисунке 2 (а) представлено взаимодействие линейного и симметричного импульсного тренда, в результате формируется асимметричная импульсная модель. На рисунке 2 (б) отображается взаимодействие степенного и экспоненциального трендов.

Рис. 2. Примеры взаимодействия трендов вида (1) и (2) без смены доминирующего тренда

В данной статье в качестве примера мультипликативного взаимодействия трендов (2) рассматривается модель в виде произведения линейного тренда на экспоненциальный:

       .        (4)

До настоящего времени данная модель не была исследована на предмет особенностей динамики, методов ее идентификации и областей возможного применения.

Возможные формы динамики модели (4) в зависимости от сочетания знаков параметров представлены на рисунке 3. При отрицательных значениях A0 форма динамики будет аналогичной, но точка пересечения с осью ординат будет находиться в области отрицательных значений.

Рис. 3. Форма динамики модели (4) при различных знаках
параметров A0, A1, б

Наибольший практический интерес представляет форма динамики при A0>0, A1>0, б>0, соответствующая жизненному циклу продукта (ЖЦП). Под продуктом в данном случае понимается некий товар, услуга или выпускающий их субъект экономики в целом.

Показателем ЖЦП может являться объем продаж в денежных или натуральных единицах, доля рынка, валовая выручка и др.

На рисунке 4 представлено влияние значений параметров на форму кривой. Стрелками показано направление увеличения значений параметров.

Рис. 4. Форма динамики модели (4) при изменении значений
параметров A0, A1, б

Параметр A0 отмечает точку пересечения с осью ординат и соответствует уровню ЖЦП в начальный момент времени. Параметры A1 и б совместно определяют высоту ЖЦП, а также скорость и продолжительность спада.

Модель имеет единственный экстремум и единственную точку перегиба. Точка экстремума определяется по формулам:

, .

Точка перегиба имеет координаты:

, .

Указанные точки позволяют выделить в модели три стадии эволюции и ЖЦП: быстрый рост с замедлением, насыщение и медленный спад (рисунок 5).

Рис. 5. Выделение стадий ЖЦП в динамике модели (4)

Динамика модели (4) во многом схожа с динамикой известной модели [2], показанной в качестве примера на рисунке 2 (б):

       .        (5)

Однако есть и различия. Модель (5) всегда проходит через начало координат, а модель (4) может начинаться с любого значения, заданного параметром A0. Модель (5) имеет две точки перегиба, что позволяет выделить четыре стадии ЖЦП. В то же время модель (5) обладает большей нелинейностью (оба образующих ее тренда нелинейны), что может затруднить ее идентификацию.

Модель (4) в большей степени подходит для описания жизненного цикла «ожидаемых» товаров, для которых характерен высокий интерес с самого начала продаж. К ним относятся фильмы, книги, некоторые программы и видеоигры, мобильные устройства, в особенности - продолжения, ремейки и новые версии уже известных продуктов. Для этих товаров характерна широкая известность производителя или линейки продукта, масштабная предпродажная маркетинговая кампания. В некоторых случаях стадия роста полностью вырождается и после нескольких первых дней продаж объемы начинают снижаться.

Идентификация модели (3) может быть выполнена различными методами. В данном исследовании были рассмотрены и сравнены три подхода к идентификации.

Первый подход – конструирование обобщенной параметрической ARMA-модели с помощью Z-преобразования [3].

Раскрыв скобки в модели (4), получим:

.

Прямое и обратное Z-преобразование приводит к следующей ARMA-модели:

.

Параметры идентифицируются с помощью двукратного применения метода наименьших квадратов (МНК):

Второй подход основан на методе итерационной параметрической декомпозиции [4] с независимой идентификацией, образующую модель трендов. Однако в данном случае невозможно выделить доминирующий тренд на первом этапе декомпозиции, поэтому необходимы начальные приближения, которые можно получить с помощью метода «имитационного отжига» [5].

Найденные с помощью «имитационного отжига» начальные приближения параметров подставляются в модели и для уточнения параметров путем итерационной параметрической декомпозиции.

Третий подход ориентирован на численном решении МНК для модели в целом. С помощью «имитации отжига» определяется область локального минимума функции квадратичной ошибки (начальное приближение). Затем с помощью алгоритма RPROP [6] осуществляется спуск к найденному минимуму.

Предложенные методы были исследованы на точность идентификации с помощью генерации тестовых выборок. Дисперсия аддитивной стохастической компоненты задавалась через коэффициент шум/сигнал Kn/s (отношения дисперсии стохастической компоненты к дисперсии мощности тренда) в диапазоне значений 0-30%. Объем выборки задавался равным 24, 36, 48 наблюдениям, а глубина прогноза назначалась в 12 наблюдений.

При каждом наборе параметров было сгенерировано по 50 выборок, всего 63 000 выборок.

Диапазон варьирования значений параметров модели представлен в таблице 1. При выбранных значениях параметров точка максимума модели находится в пределах выборки, а точка перегиба – на прогнозной части или в конце рабочей выборки. В прогнозную часть выносятся этапы насыщения и спада.

Таблица 1.

Диапазоны значений параметров для генерации тестовых выборок

n=24	n=36	n=48
min	min	min	max	шаг	max	шаг	max	mаx
A0	10	50	10	10	50	10	10	50	10
A1	30	70	20	20	80	20	20	80	20
б	0,05	0,07	0,01	0,04	0,06	0,01	0,03	0,05	0,01

В результате исследования было установлено, что первый и второй способы идентификации в подавляющем большинстве случаев не позволяют получить удовлетворительную по точности модель.

В то же время третий способ («имитация отжига» + RPROP) позволяет идентифицировать модель с высокой точностью.

На рисунке 6 показаны зависимости коэффициента детерминации R2 (показателя точности моделирования) и второго коэффициента Тейла kT2 (показателя точности прогнозирования) от уровня шума Kn/s при использовании третьего способа идентификации модели.

Как видно из графиков, R2 во всех случаях превышает 0,75, характеризуя высокую точность моделирования. Второй коэффициент Тейла оказывается менее 20%, что тоже подтверждает высокую точность прогнозирования.

Заметим, что реально используемый в эконометрической практике диапазон уровня шума обычно не превышает 10-15 %, что позволяет говорить о широкой области применения данного способа идентификации.

Рис. 6. Выделение стадий ЖЦП в динамике модели (4)

Небольшая доля выборок (3-4%) была идентифицирована неверно даже в условиях отсутствия шума из-за неудачного выбора начального приближения. Однако вероятностный характер «имитации отжига» при работе с каждой конкретной выборкой позволяет добиться получения другого, более точного начального приближения.

Таким образом, для идентификации модели (4) наилучший результат обеспечивает численный метод решения МНК по алгоритму RPROP с выбором начального приближения по методу «имитации отжига».

Возможно использование и других численных методов, однако во всех предыдущих исследованиях именно RPROP показывал наилучшую сходимость при более низкой вычислительной сложности.

Рекомендуется использовать модель для ЖЦП товаров с быстрым выходом на рынок и продолжительным насыщением и спадом в целях прогнозирования стадии спада. Однако возможно и другое применение модели для описания различных эволюционирующих процессов.

Литература

Количественные методы измерения трансформации социально-экономических систем: Монография / . – Самара: Изд-во НОАНО ВПО СИБиУ, 2012. – 80 с.

2. Hammond G. P., Mackay R. M. Projections of UK oil and gas supply and demand to 2010 // Applied Energy. Volume 44, Issue 2, 1993, Pages 93–3. Семёнычев, экономической динамики на основе моделей авторегрессии / . – Самара: АНО «Изд-во СНЦ РАН», 2004. – 243 с.

3.Семёнычев, параметрической итерационной декомпозиции тренд-сезонных рядов аддитивной структуры / , , // Вестник Самарского муниципального института управления. – Самара: Изд-во «СМИУ», 2010. – № 1 (12). – С. 63-71.

4., Методы поиска глобального экстремума. – М.: Наука, 1991.

5.Осовский, С. Нейронные сети для обработки информации / Пер. с польского . – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.