Урок-семинар "Прогрессия - движение вперед"

Урок-семинар "Прогрессия - движение вперед"

Цель урока. На конкретных примерах применения арифметической и геометрической прогрессий убедиться в том, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Задачи урока.

1.        Обобщить и закрепить знания по данной теме.

2.        Рассмотреть использование математических методов в решении задач с практическим содержанием.

3.        Установить, действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни.

Оборудование урока: Компьютер, видеопроектор, компьютерные презентации, листы с текстами задач и Оценочные листы.

План проведения урока-семинара.

Вступительное слово учителя.

Опрос учащихся по теме "Прогрессии".

Доклады "ученых":

Алгебраические задачи в Древнем Египте и Индии. Мир бактерий. Прогрессии в жизни

(После каждого доклада ученики решают задачи и делают выводы, записывая их на рабочий лист)

Подведение итогов урока.

Подготовка к уроку.

Ход урока.

I. Вступительное слово учителя.

Наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удается пользоваться математикой.

                                               Фридрих Энгельс.

На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека. При изучении тем «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия» мы пытались ответить на вопрос действительно ли является неотъемлемой частью общечеловеческой культуры и окружающего нас Мира. Выясним, имеют ли место прогрессии в физике, химии, биологии, истории, экономике.

А начнем мы урок с повторения.

II. Опрос учащихся.

1. Дайте определение арифметической прогрессии.

2. Дайте определение геометрической прогрессии

3. Чему равна разность арифметической  прогрессии?, знаменатель геометрической прогрессии?

4. Напишите формулу n-го члена арифметической прогрессии,

-геометрической прогрессии?

5.Запишите формулу для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогресс

-геометрической прогрессии

5. Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии, геометрической прогрессии

Устные упражнения.

(аn): 4; 9; 16; 25; ...
(вn): 32; -16; 8; -4; ...
(сn): -6; -3; 0; 3; ...
(хn): 1; 8; 27; 64; ...

Какая из данных числовых последовательностей является арифметической прогрессией? (сn) Укажите её разность. (3) Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии. (-6) Если поменять порядок членов этой прогрессии на обратный, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией? (Да.) Укажите её разность. (-3) Какая из данных числовых последовательностей является геометрической прогрессией? (вn) Укажите знаменатель этой прогрессии. (-0,5) Найдите шестой член данной прогрессии. (-1) Сравните в4 и в5. (в4< в5) Если поменять порядок членов этой прогрессии на обратный, то будет ли полученная последовательность геометрической прогрессией? (Да.) Укажите знаменатель полученной прогрессии. (-2) Найдите сумму четырёх первых членов полученной прогрессии? (20)

III. Выступление ученых.

Cовершим  небольшой экскурс в историю, давайте послушаем ученого-историка.

"Назад в историю»

До наших времен почти неповрежденными дошли два документальных произведения, в которых можно найти как юридические документы, так и хозяйственные записи с математическими расчетами.

Как и все египетские тексты, эти произведения написаны на папирусе. Один из них, "папирус Райнда", названный так по имени первого своего владельца, хранится в Британском музее в Лондоне, а второй математический папирус находится в нашей стране и хранится в московском Музее изобразительных искусств им. .

Эпоха, в которую написаны упомянутые математические папирусы, определяется специалистами лишь приблизительно. Их относят, примерно, к XVIII веку до н. э.

Наряду с задачами, содержание которых носит практический характер, в папирусах мы находим и явно надуманные, имеющие характер "развлекательных задач".

В "папирусе Райнда" имеется задача, изложенная правда, в чрезвычайно скупой форме, но, несомненно, требующая нахождения суммы геометрической прогрессии:

имеется 7 домов, в каждом доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев ячменя, каждый колос, если посеять его зерна, дает 7 мер зерна. Найти сумму общего числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер.

Здесь мы видим занимательную задачу на геометрическую прогрессию.

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н. э)Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н. э.).

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)

вывод 1:

- с геометрической прогрессией люди знакомы очень давно (186 до н. э.)

Решить задачу №1

Строя пирамиды для фараонов египтяне в каждом следующем ряду плит устанавливали на одну плиту меньше, чем в предыдущем. На самом верху стены возвышается одна плита. Сколько всего плит понадобится только для одной стены пирамиды, если плиты стоят в 60 рядов?

Решение: Считать ряды будем сверху. Тогда в арифметической прогрессии an a1=1,d=1,n=60

Ответ: 1830 плит только в одной стене пирамиды.

Учитель: А сейчас слово предоставляется ученому-биологу.

"Мир бактерий".

Бактерии - относительно просто устроенные микроскопические одноклеточные организмы. Практически нет места на Земле, где бы ни встречались бактерии. Они живут во льдах Антарктиды при t - 830С и в горячих источниках, t которых достигает + 850 до - 900С. Особенно много их в почве. В 1 г почвы могут содержаться сотни миллионов бактерий. Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений. Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока. Условия жизни бактерий разнообразны. Одним из них необходим кислород воздуха, другие в нем не нуждаются и способны жить в бескислородной среде.

Бактерии - важнейшее звено общего круговорота веществ в природе (разложение и гниение). Они своеобразные санитары нашей планеты.

Молочнокислотные бактерии используют в пищевой промышленности. Есть бактерии, которые портят рыболовные сети, редчайшие рукописи и книги в книгохранилищах. Некоторые виды бактерий - паразиты проникают в организм человека и поселяются там, вызывая заболевания.

Но всевозможные виды бактерий размножаются делением одной клетки на две. При благоприятных условиях деление клеток у многих бактерий может происходить через каждые 20-30 минут. При таком быстром размножении потомство одной бактерии за 5 суток способно образовать массу, которой можно было бы заполнить все моря и океаны. Однако в природе этого не происходит, так как большинство бактерий быстро погибает под действием солнечного света, при высушивании, нагревании до 650 - 1000С, под действием дезинфицирующих веществ, в результате

Учитель: Спасибо докладчику за интересное сообщение, а, вы, ребята, зная, как размножаются бактерии, решите задачу № 2:

Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320.

Число инфузорий каждый раз увеличивается в 2 раза, значит, количество инфузорий увеличивается в геометрической прогрессии.

q=2,

=/=320/64=5

Ответ:5 инфузорий было первоначально.

Самостоятельно решите задачу № 3

Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько образовалось дрожжевых клеток после десятикратного их деления, если первоначально было шесть клеток?

Клетки растут в геометрической прогрессии.

,  q=2

клетки делились 10 раз, значит надо найти

=6*210=6*1024=6144

Ответ:6144 клетки

На луг площадью 12800 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 50м2. При благоприятных условиях одуванчик размножаясь, занимает площадь вдвое большую, чем в прошлом году. Через сколько лет одуванчики займут весь луг?

Дано: bn - геометрическая прогрессия, b1=50,bn=12800,q=2

Найти: n

Решение:

Ответ через 7 лет

После решения задачи учитель с учениками делает вывод №2:

-формулу n-го члена геометрической последовательности используют при нахождении первоначального числа бактерий (запись на рабочий лист).

ФИЗМИНУТКА

Учитель: Слово предоставляется ученому-экономисту

Виталий.

В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении так называемых “сложных процентов”. Если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на 3% от исходной суммы, тогда за 20 лет сумма на сберкнижке увеличится в (1,03)20 1,8 раза.

- Если процент будет больше, то и результат будет резко расти. Так при 50% годовом увеличении за 10 лет сумма увеличится в (1,5)10 55,7 раза. Под такой процент давали деньги ростовщики в Англии в XIII веке. Это вызывало страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент. Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в упадок, как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся возможности получения кредитов. В конце концов, взимание процентов было разрешено, но не должно было быть большим 10%.

- Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.

- Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от лишнего населения необходимы войны.

Геометрические прогрессии удивляют своим чрезвычайно быстрым ростом. В жизни с растущими геометрическими прогрессиями надо обращаться осторожно. Если в геометрической прогрессии растет количество животных в стаде – скоро ему не хватит пастбища. Если число распадов в куче плутония – дело идет к атомному взрыву. А если вам обещают большие доходы – лучше не связываться с этими “благодетелями”.

Представители точных наук во всем ищут математические закономерности. Одна из форм демонстрации математических закономерностей – это математические фокусы. Например, фокусы с календарями.

Фокус 1. Таинственные квадраты.

На помесячном табель – календаре выберите любой месяц, отметьте на нем квадрат, содержащий 9 чисел. Теперь назовите наименьшее из них, а я объявлю сумму всех девяти чисел. Ответ: (m+8)*9; (m – наименьшее число).

Фокус 2. Предсказание.

На каком-нибудь листе помесячного календаря заключите в квадрат 16 чисел. Разрешите мне мельком взглянуть на ваши квадраты (предсказать число).

Обведите кружком любое число из этого квадрата. Затем зачеркните все числа, стоящие в той же строке и том же столбце, что и обведенное число. В качестве второго обведите любое число, оставшееся не зачеркнутым. Затем зачеркните все числа, оказавшиеся на одной строке и одном столбце с этим числом. Также выбирается и третье число.

В результате этих действий у вас осталось одно число, его тоже обведите кружочком. Найдите сумму чисел, обведенных кружочком. Эта сумма равна предсказанному числу.

Вы убедились, что раздел математики «Прогрессии» являются неотъемлемой частью общечеловеческой культуры

Обучающиеся подводят итоги, высказываясь о значимости прогрессии.

Решение упражнений.

Ученики выполняют упражнения, которые оцениваются на экзамене 2 балла и 3 балла (3 ученика у доски, остальные в тетрадях). Ученики, успешно справившиеся с выполнением задания, приступают к выполнению дополнительного задания.

№ 1. Первый член арифметической прогрессии равен 6, а ее разность равна 4. Начиная, с какого номера члены этой прогрессии больше 260?

аn= 6; d = 4; аn260; n – ?
аn= а1 + d(n – 1)
аn= 6 + 4(n – 1)
6 + 4(n – 1) 260
n 64,5
Т. к. n N, n = 65.
Ответ: начиная с номера 65.

№ 2. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с тридцатого по сороковой включительно, если аn= 3n + 5.

аn= 3n + 5; S30-40 – ?

Ответ: 1210.

№ 3. Между числами 3 и 12 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Ответ:

Учитель:  Сейчас вам необходимо выполнить индивидуальную самостоятельную работу. (Тестирование 10-15мин.) (см. Приложение).

Домашнее задание:

Из списка задач выбрать две любые задачи и решить к следующему уроку

IV. Подведение итогов урока.

Учитель: Дорогие ребята! Наш урок подходит к концу, мы благодарим всех "учёных", выступивших перед нами. А я ещё раз хочу обратить ваше внимание на тему нашего урока "Прогрессия - движение вперёд", она выбрана не случайно.

Само слово "прогрессия" латинского происхождения (progressio) буквально означает "движение вперёд" (как и слово "прогресс") и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI в. в.).

Мы с вами, переходя из класса в класс, изучая тему за темой, тоже движемся вперёд к достижению всё новых высот, расширяя свой  кругозор и повышая  культуру, стараясь лучше понять роль математики в современном обществе.

(Далее учитель объявляет оценки, которые заработали докладчики и ученики, которые готовили демонстрационные таблицы и решавшие у доски, а также отвечавшие с мест ученики класса).

Закончить урок хочу словами Мориса Клайна:

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Интересное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
Математика – способна достичь всех этих целей»