Особенности изучения темы «Двойные интегралы»

ОСОБЕННОСТИ  ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»

МГУПС (МИИТ)

, ст. преподаватель

В данной статье мы рассматриваем особенности изучения темы «Двойные интегралы», а так же обобщаем опыт нашей работы по данной теме.

Ключевые слова: двойной интеграл, область интегрирования, графики функций.

Одной  из наиболее сложных тем для восприятия студентами  курса «Математического анализа» является тема «Двойные интегралы», которая изучается студентами второго курса. Это связано с рядом объективных причин, среди которых 1) слабая школьная подготовка (не знание основных элементарных функций, отсутствие навыков построения графиков функций), 2) не развитое пространственное воображение, 3) недостаточно сформированные навыки интегрирования. В связи с этим при работе со студентами первого курса мы особое место уделяем построению графиков функций и их преобразованиям как в теме «Понятие и свойства функции», так и в теме «Геометрические и физические приложения определенного интеграла».

Приведем примеры решения задач с комментариями, которые мы рассматриваем пи изучении темы «Двойные интегралы»

Непосредственное вычисление двойного интеграла.

Пример 1. 

Вычислить двукратные интегралы:

1) .

Решение. 1) Здесь интегрируем сначала по переменной , считая постоянной, затем по :

;

.

Вычисление двойного интеграла по указанной области.

Пример 2.

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной прямыми , , .

Решение. Область показана на рис. 1. Последовательность интегрирования может быть любой, так как границы области не имеют точек излома.

Если секущие параллельны , то внешний интеграл по имеет пределы . Пределы внутреннего интеграла по равны ; .

Получим: .

Отдельно найдем внутренний интеграл:

.

Возвращаемся к внешнему интегралу:

.

Рис. 1.

Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Пример 3. Изменить порядок интегрирования  в двойном интеграле .

Решение. Здесь область интегрирования ограничена прямыми ; ; ; (рис. 2). При изменении порядка интегрирования (внутренний интеграл по ), секущие параллельны . Их точки «входа» располагаются на двух линиях: (уравнение ) и (уравнение

       

Рис. 2.

По этой причине область необходимо разбить на две: и , в каждой из которых нижняя линия границы задается только одним уравнением.

Найдем координаты точек и , решая системы уравнений:

; .

Для участка будет , для участка .

Таким образом, интеграл при изменении порядка интегрирования равен сумме двух интегралов:

.

Двойной интеграл в полярных координатах.

Пример 4.  Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойной интеграл , где - круговое кольцо, заключенное между окружностями и (т. е. ).

Решение.

Совместим полярную ось с осью (рис. 3).

Рис. 3.

Полагая  , , запишем уравнения границ области в полярных координатах: ; . Эти линии определяют собой пределы изменения : от до . Для кольца угол  заключен в пределах от до .  Пользуясь правилом перехода к полярным координатам, преобразуем подынтегральное выражение и получим:

.

Вычисление площадей.

Пример 8.

Найти площадь области, ограниченной линиями:

1) гиперболами , и прямыми ,  ;

2) кардиоидой и окружностью ();

Решение. 1) Проведем секущие параллельно оси (рис. 4).

Рис. 4

Получим: .

Если проводить секущие параллельно оси , то результат получим тот же, но объем вычислений увеличится. Покажем это. Левая и правая границы области имеют точки излома (рис. 5). Определим их координаты, решая соответствующие системы уравнений: ; . Ординаты точек равны между собой, поэтому заданную область понадобится разбивать на две части: и .

Точки и - крайние, через них проходят касательные. Уравнения линии разрешим относительно . 

Итак,

.

Рис. 5

Данный пример наглядно подтверждает важность рационального выбора порядка интегрирования.

Так как объем статьи ограничен, то вычисление объемов с помощью двойного интеграла будет рассмотрен в следующей статье.

Опыт нашей работы отражен в учебном пособии «Двойной интеграл», целью которого является в доходчивой форме оказать помощь студентам в изучении данных тем и закреплении знаний. Весь материал пособия разбит на параграфы, каждый из которых содержит краткую теорию, основные определения и формулы, а также подробный разбор решения типовых задач. В учебное пособие помещены задания для аудиторной работы и для самостоятельного решения соответствующие разобранным в параграфе. Пособие содержит большое количество задач, отражающих связь математики с другими дисциплинами.

Список использованной литературы

, Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля. В 5 ч. Ч. 1. Двойной интеграл: Учебное пособие. – М.: МИИТ, - 2011. – 70 с.: ил.