ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
для поступающих на основную образовательную программу подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
«Математика»
по направлению подготовки 01.06.01 «Математика и механика»
по предмету «Математика»
РАЗДЕЛ I. СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕМ
Высшая алгебра
1. Линейная алгебра. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость. Теоремы о базисах. Линейные отображения. Канонические формы матрицы оператора (фробениусова, жорданова, вещественная жорданова). Евклидовы и унитарные пространства. Существование ортонормированного базиса, в котором матрица нормального оператора диагональна. Алгебры. Внешняя алгебра. Тело кватернионов.
2. Теория групп. Определение и примеры групп. Подгруппы, нормальные делители. Центр. Коммутант. Гомоморфизмы групп. Теоремы о гомоморфизмах. Абелевы группы. Структура конечнопорожденных абелевых групп. Конечные группы. Теоремы Силова. Свободные группы. Подгруппы свободных групп. Свободные произведения. Задание групп при помощи образующих и определяющих соотношений. Разрешимые и нильпотентные группы. Простые группы. Простота знакопеременных групп.
3. Кольца и модули. Радикал Джекобсона. Простые и полупростые кольца. Структура простых и полупростых артиновых колец. Теорема плотности. Теорема о двойном коммутанте. Конечномерные алгебры с делением над полем вещественных чисел. Конечные тела. Группа Брауэра. Модули. Свободные модули. Неприводимые и неразложимые модули.
4. Алгебраические числа. Квадратичный закон взаимности Гаусса. Числовые и локальные поля. Теория дивизоров. Простые элементы кольца целых чисел Гаусса. Строение мультипликативной группы локального поля. Строение группы единиц поля алгебраических чисел.
Геометрия и топология
1. Теорема Урысона о метризуемости.
2. Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. Принцип сжатых отображений.
3. Нормированные и топологические линейные пространства. Выпуклые множества и выпуклые функциионалы. Теорема Хана—Банаха.
4. Фундаментальная группа топологического пространства и ее свойства. Теорема Зейферта-ван Кампена.
5. Классификация компактных ориентируемых поверхностей. Фундаментальная группа поверхности.
6. Накрытия. Классификация накрытий в терминах подгрупп фундаментальной группы базы накрытия.
7. Риманово многообразие. Риманова связность. Геодезические и полнота. Тензор кривизны.
8. Понятие федоровской группы. Классификация дискретных групп плоских движений.
9. Неевклидова геометрия. Параллельные по Лобачевскому. Функция Pi. Эквидистантная поверхность и орисфера. Элементарная геометрия на плоскости Лобачевского. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Теорема Пеано о существовании решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.2. Теорема о сходимости ломаных Эйлера в случае единственности.
3. Понятие интеграла уравнения первого порядка в симметричной форме.
4. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
6. Линейное уравнение 1-го порядка.
7. Условие Липшица. Лемма о связи локального и глобального условий Липшица.
8. Метод последовательных приближений Пикара. Сходимость.
9. Теорема единственности.
10. Необходимое и достаточное условие продолжимости решения.
11. Интеграл системы дифференциальных уравнений. Постоянство его вдоль решения.
12. Линейные однородные уравнения. Определение, основное свойство.
13. Линейно независимые решения линейного однородного уравнения. Вронскиан. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.
14. Линейные неоднородные уравнения.
15. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
16. Линейные однородные системы. Основное свойство. Линейно независимые решения
линейной однородной системы.
17. Фундаментальная система решений линейной однородной системы. Общее решение.
Общее выражение для фундаментальной матрицы. Формула Лиувилля.
18. Линейные неоднородные системы.
19. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
20. Поведение траекторий в окрестности изолированной точки покоя (общая теория).
Классификация точек покоя.
21. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Математический и функциональный анализ
1. Дифференциальное исчисление. Дифференцируемые отображения и функции, частные производные. Формула Тейлора. Экстремумы, относительные экстремумы, множители Лагранжа. Локальная обратимость отображения с обратимым дифференциалом. Теорема о неявной функции. Способы локального задания гладких подмногообразий в R^n.
2. Теория меры и интеграла. Системы множеств. Меры, их простейшие свойства. Теорема Лебега-Каратеодори о продолжении меры с полукольца на сигма-алгебру. Мера Лебега в R^n, ее регулярность. Измеримые функции. Сходимость почти везде и сходимость по мере. Интеграл по мере. Суммируемые функции. Предельный переход под знаком интеграла. Произведение мер. Теорема Фубини. Замена переменных в кратном интеграле Лебега.
3. Интегрирование на многообразиях. Интегрирование по гладкому подмногообразию пространства R^n. Интегрирование дифференциальных форм. Формула Стокса (общий вариант, частные случаи: формулы Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского).
4. Комплексный анализ. Производная по комплексной переменной, условия Коши-Римана. Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши для аналитических функций. Степенные ряды (круг и радиус сходимости). Аналитические функции как суммы степенных рядов. Разложение в ряд Лорана функции, аналитической в кольце. Изолированные особые точки. Теорема Коши о вычетах. Принцип аргумента и теорема Руше. Теорема Лиувилля. Принцип максимума модуля. Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций. Конформные отображения, теорема Римана, автоморфизмы круга и полуплоскости.
5. Функциональный анализ. Метрические пространства. Полные метрические пространства, пополнение. Компактность, теорема Хаусдорфа. Теорема Бэра о категориях. Нормированные пространства. Гильбертовы пространства. Ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве. Линейные операторы, норма оператора, пространство операторов. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом графике. Поточечная сходимость последовательности операторов, теорема Банаха-Штейнгауза. Теорема Хана-Банаха. Сопряженное пространство. Компактные линейные операторы. Спектр и резольвента линейного оператора. Альтернатива Фредгольма. Интегральные операторы. Оператор свертки, аппроксимативные единицы.
6. Анализ Фурье. Ряд Фурье, частичная сумма, ядро Дирихле. Сходимость ряда Фурье в точке, теорема Дини. Преобразование Фурье. Формула обращения. Теорема Планшереля.
Уравнения математической физики
1. Элементы вариационного исчисления.
2. Общие сведения об уравнениях в частных производных. Классификация уравнений второго порядка.
3. Задача Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Характеристики.
4. Уравнение теплопроводности. Принцип максимума. Решение задачи Коши.
5. Волновое уравнение. Теорема единственности. Решение задачи Коши при n=1,2,3.
4. Уравнение Лапласа и преобразование Кельвина. Свойства гармонических функций. Постановка краевых задач. Теоремы единственности. Решение задачи Дирихле для шара.
5. Оператор Бельтрами. Свойства сферических функций. Явные формулы при n=2,3.
6. Потенциалы и их свойства. Интегральные уравнения теории потенциала. Разрешимость задач Дирихле и Неймана. Понятие о сингулярных интегральных операторах.
7. Задача Штурма-Лиувилля. Классическая и обобщенная постановки. Теоремы Фредгольма. Собственные числа и собственные функции.
8. Пространства Соболева. Теоремы вложения и теоремы о следах. Теорема об эквивалентных нормировках. Анизотропные пространства Соболева.
9. Ообобщенные решения эллиптических задач. Теоремы Фредгольма. Метод Галеркина. Собственные числа и собственные функции. Гладкость обобщенных решений.
10. Прямые методы вариационного исчисления. Теоремы существования минимума. Необходимые условия экстремума. Примеры.
11. Обобщенные решения параболических и гиперболических уравнений. Теоремы единственности и существования. Методы Галеркина и Фурье.
12. Обобщенные функции. Фундаментальные решения. Преобразование Фурье.
Теория вероятностей и математическая статистика
Элементарная теория вероятностей (вероятностное пространство, аксиоматика Колмогорова, классическое определение вероятности). Случайные величины и векторы, их распределения, числовые характеристики случайных величин. Последовательности независимых испытаний и законы больших чисел Бернулли и Бореля. Характеристические функции, формула обращения и теорема единственности, связь с моментами случайных величин, непрерывность соответствия между характеристическими функциями и распределениями. Последовательность независимых случайных величин, закон нуля и единицы, слабый и усиленный законы больших чисел Центральная предельная теорема, теоремы Леви, Ляпунова, Линдеберга, Феллера. Дискретные цепи Маркова и марковские процессы со счетным и произвольным множеством состояний, уравнения Колмогорова. Условные вероятности и условные математические ожидания Случайные процессы с независимыми приращениями, винеровский и пуассоновский процессы.10.Стационарные процессы, корреляционная и спектральная теории.
11.Безгранично делимые распределения. Условия сходимости к заданному безгранично
делимому распределению.
12.Скорость сходимости распределения суммы независимых случайных величин к
нормальному распределению. Неравенства Эссеена и Берри - Эссеена.
13.Предельные теоремы для вероятностей больших уклонений и закон повторного логарифма.
14.Основные понятия математической статистики, выборка, теорема Гливенко-Кантелли,
выборочные моменты. Выборки из нормального распределения, доверительные интервалы.
15.Достаточные статистики, эффективные оценки, неравенство Рао-Крамера, оценки
максимального правдоподобия и их свойства.
16.Задача проверки гипотез, ошибки первого и второго рода, лемма Неймана-Пирсона критерии
хи-квадрат, Колмогорова.
17.Модель линейной регрессии. Оценивание параметров модели по методу наименьших
квадратов. Теорема Гаусса-Маркова.
РАЗДЕЛ II. ИСТОЧНИКИ И ЛИТЕРАТУРА
Высшая алгебра
. Основы линейной алгебры. М., 2009. , . Вычислительные методы линейной алгебры. М., 2012 г., гл. 1. . Лекции по алгебре, СПб, 2005, гл. 14-15 . Теория групп, М., Физматлит, 2011, гл.1-4 М. Холл. Теория групп. М., 1962, гл.1-6 и 13 , . Основы теории групп. М.,1977 3 часть Ван дер Варден. Алгебра. М., 2012 С. Ленг. Алгебра. М., 2012 А. Херстейн. Некоммутативные кольца. М., 1974 4 часть , . Теория чисел. М., 1972. Гл. 2-3 Ч. Кэртис, И. Райнер. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., 1969. Главы 1-7 С. Маклейн. Гомология, ИО НФМИ, 2000. Главы 1-5 А. Картан, С.Эйленберг. Гомологическая алгебра. М., 1960. Главы 1-6 . Оновы алгебраическщй геометрии. М., 2012Геометрия и топология
1. , Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977.
2. , Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.
3. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.: МЦНМО, 2004.
4 . , Введение в риманову геометрию. СПб: Наука, 1994.
5 . , , Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Эдиториал УРСС, 1988.
6. Кон-аглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
7. Геометрия Лобачевского. М.: МЦНМО, 2004.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Введение в локальную качественную теорию дифференциальных уравнений. СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета. 2003. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4-е изд. М.: 2000. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа. 1991 (2-е изд. СПб.: Изд. «Лань». 2011). Введение в грубые системы дифференциальных уравнений. Л., 1988. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М., 1977. быкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970. , Теория нелинейных колебаний. I, II. Изд-во СПбГУ, 2012.Математический и функциональный анализ
1.Вопросы современной теории аппроксимации: сборник статей / С.-Петерб. гос. ун-т ; под ред. . - СПб. : Изд-во СПбГУ, 2004.
2.. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.
3.. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.
4. Лекции по теории аппроксимации. СПб., 2008.
5., Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983.
6., . Функциональный анализ; часть I, 4-е издание. Изд. BHV, 2004.
7., . Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
8., . Лекции повещественному анализу. БХВ-Петербург, 2011.
9.. Теория функций вещественной переменной, 3-е изд., испр. СПб : Лань, 1999.
10.М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Том I: Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.
Уравнения математической физики
1. Курс высшей математики. Том IV, части I и II. М.: Наука, 1981.
2. Курс математической физики. Лань, 2002.
3. Уравнения в частных производных. М., 1977.
4. Уравнения математической физики. М., 1988.
5. Краевые задачи математической физики. М., 1973.
6. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Под редакцией . Л., 1981.
7. осс М. Анализ. Новосибирск, 1998.
8. Уравнения с частными производными. Новосибирск, 2003.
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей. М., 2003. Математическая статистика. М., 2007. Случайные процессы. СПб, Лань, 2013. ведение в теорию вероятностей и приложения. Тома 1 и 2, М, 1984. Основные понятия теории вероятностей. М, 1974. Вероятность. Тома 1 и 2, М, 2004. еория вероятностей. М., 1962. , Введение в теорию случайных процессов. М., 1977. , Независимые и стационарно связанные величины. М., 1965. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М., 1987. роверка статистических гипотез. М., 1979. , Введение в математическую статистику. М., 2010. атематическая статистика, вып. 1 и 2. М., 1983.Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
Библиотеки
Российская государственная библиотека www. rsl. ru
Российская национальная библиотека www. nlr. ru
Библиотека Академии наук www. rasl. ru
Библиотека по естественным наукам РАН www. benran. ru
Научная библиотека СПбГУ www. bio. spbuu. ru/library
Научная электронная библиотека eLIBRARY. RU www. elibrary. ru
РАЗДЕЛ III. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
Форма проведения вступительного испытания: устно-письменная
Продолжительность вступительного испытания:
На письменную часть экзамена (2 вопроса) отводится 1 час 30 мин.
На подготовку к устной части (1 вопрос) – 30 мин.
При проверке письменных ответов члены комиссии имеют право задавать поступающему уточняющие вопросы по ответу.
РАЗДЕЛ IV. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
Письменный ответ на каждый вопрос оценивается от 0 до 15 баллов, устный – от 0 до 20 баллов. Минимальный проходной балл за экзамен – 20 баллов.
Критерии оценивания письменных ответов
Дан полный ответ, отсутствуют ошибки и неточности – 15 баллов.
Ответ изложен в целом правильно, имеются незначительные неточности или несущественные ошибки – 11-14 баллов.
Ответ изложен недостаточно полно, имеются ошибки, не носящие принципиального характера – 6-10 баллов.
Ответ не раскрывает существа вопроса или допущены грубые ошибки – 0-5 баллов.
Критерии оценивания устного ответа
Дан полный ответ, продемонстрировано знание предмета и навыки устного изложения – 20 баллов.
Ответ в целом правильный, имеются незначительные погрешности, исправленные в ходе дискуссии – 15-19 баллов.
Ответ в целом правильный, но неполный или изложение недостаточно профессиональное или имеются погрешности, не носящие принципиального характера – 10-14 баллов.
Ответ схематичен, но отражает существо вопроса и не содержит грубых ошибок – 6-9 баллов.
Ответ не раскрывает существа вопроса или допущены грубые ошибки – 0-5 баллов.
ПЕРЕВОД В ПЯТИБАЛЛЬНУЮ ШКАЛУ ОЦЕНИВАНИЯ
41 – 50 баллов – «отлично»
31 – 40 баллов – «хорошо»
20 – 30 баллов – «удовлетворительно»
0 – 19 баллов – «неудовлетворительно»
Основные порталы (построено редакторами)