Контрольная работа №1

Контрольная работа №1

(выполняется студентами заочной формы обучения,

направление «Менеджмент», в первом семестре)

Выбор варианта студентом производится по последней цифре (четвертой) зачетной книжки.

Задание №1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:

а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

1.    2.    3.

4.    5.   6.

7.    8.    9.

10.

Задание №2. По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти:

а) модуль вектора ; б) скалярное произведение векторов и ; в) проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки делящей отрезок в отношении  ;

1.  А (4; 6; 7),  В (2; -4; 1),  С (-3; -4; 2), 

  ,  =3

2.  А (3; 5; 4),  В (4; 2; -3),  С (-2; 4; 7),

  ,  ,

3.  А (-3; -5; 6),  В (3; 5; -4),  С (2; 6; 4),

,   

4.  А (6; 5; -4),  В (-5; -2; 2),  С (3; -3; 2),

 

5.  А (6; 4; 5),  В (-7; 1; 8),  С (2; -2; -7),

 

6.  А (-5; 4; 3),  В (4; 5; 2),  С (2; 7; -4),

 

7.  А (4; 3; 2),  В (-4; -3; 5),  С (6; 4; -3),

 

8.  А (3; 4; 1),  В (5; -2; 6),  С (4; 2; -7),

 

9.  А (-5; -2; -6),  В (3; 4; 5),  С (2; -5; 4),

 

10.  А (3; 4; 6),  В (-4; 6; 4),  С (5; -2; -3),

     

Задание №3. Даны векторы Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, найти координаты вектора в этом базисе.

(2; 0; 8; 5),  (-10; 3; 0; 2), (-3; 5; -1; -6), (-1; -7; 9; 0), (33; -4; 23; 3). (1; 4; 0; 3),  (-5; 1; -2; 5), (-3; 1; -3; 0), (2; -7; 1; -4), (-28; 21; -14; 35). (3; 7; 9; 0),  (-3; 0; 7; 0), (2; -3; -5; -4), (1; -2; 0; 7), (-10; -8; 25; -1). (-1; 3; 5; 0),  (5; -1; -3; 2), (-2; 9; -2; 9), (8; 0; 1; 0), (9; -17; 14; -26). (5; 1; -7; 2),  (2; -3; -1; -9), (-7; -1; 1; -2), (3; 4; -5; -6), (59; 20; -38; -53). (9; 7; 1; 0),  (8; -1; -1; 3), (0; 5; 5; 5), (0; 0; 4; 7), (79; 67; 29; 33). (2; 9; 0; 0),  (-4; -7; -1; 1), (1;-2; 5; -3), (3; 4; 0; -5), (41; 93; 11; -19). (1; 9; 0; -3),  (-3; -2; 0; 2), (-5;-6; -8; -5), (-7; 0; 1; -1), (-55; 0; -18; -27). (-1; 5; 2; 0),  (-3; 3; -7; 8), (5; -2; 0; 4), (2; -4; 0; -1), (22; -33; 12; -17). (8; 5; 9; 1),  (1; -3; -6; -3), (3; -1; 5; 2), (0; 2; -1; 0), (-17; 13; -36; -6).

Задание №4. Даны вершины треугольника.

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС.  Сделать чертеж. 

А (-2; -1);  В (4; 2);  С (1; 3) А (1; 1);  В (- 5; 4);  С (-2; 5)  А (-1; 1);  В (5; 4);  С (2; 5) А (-1; 1);  В (-7; 4);  С (-4; 5) А (1; -1);  В (7; 2);  С (4; 5) А (1; -1);  В (-5; 2);  С (-2; 3) А (-1; -1);  В (5; 2);  С (2; 3) А (-1; -1);  В (-7; 2);  С (-4; 3) А (0; 1);  В (6; 4);  С (3; 5) А (1; 0);  В (7; 3);  С (4; 4)

Задание №5.

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно к этому отрезку, если .

  б) Найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью  3х – у + 2z + 5 = 0.

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

б) Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2; -3; 5) перпендикулярно двум прямым:   

а) Составить уравнение плоскости в отрезках, если она проходит через точку М(6, -10, 1) и отсекает на оси Ох отрезок  а=-3,  а на оси Оz – отрезок  с=2.

б) Найти координаты проекции точки М (-3; 0; 2) на прямую 

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, 3, -4) параллельно двум векторам .

  б) Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (1; -2; 3) и перпендикулярной с прямым  , 

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 1, 0), В( 2, -1, -1) перпендикулярно к плоскости .

  б) Найти координаты точки, симметричной точке (2; 8; 0) относительно прямой

.

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям и .

б) Составить каноническое уравнение прямой, лежащей в плоскости Оху, проходящей через начало координат и перпендикулярно к прямой 

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(3, -1, 2), В(2, 1, 4) параллельно вектору .

б) Найти координаты проекции точки (2; 2; -2) на плоскость 3х – у + z – 13 = 0

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к вектору , если А(5, -2, 3), В(1, -3, 5).

б) Найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью  3х – у + 2z + 5 = 0

а) Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(2, -3, 3) параллельно плоскости .

б) Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2; -3; 5) перпендикулярно двум прямым:   

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1, -1, 2) перпендикулярно к вектору , если А(2, 3, -4), В(-1, 2, -3).

б) Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (1; -2; 3) и перпендикулярной с прямым  , 

Задание №6.  Найти пределы:

1. а)   б)   в)   г)

2. а)   б)   в)   г) 

3. а)   б)   в)   г)

4. а)   б)   в)   г)

5. а)   б)   в)   г)

6. а)   б)   в)   г)

7. а)   б)   в)   г)

8. а)   б)   в)    г)

9. а)   б)    в)   г) 

10. а)   б)    в)   г) 

Задание №7. 

а) Найти производные указанных функций:	б) Найти производную неявно заданной функции:	в) Найти производные функций, используя логарифмическую производную:

Задание №8.  Исследовать функцию и построить ее график:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

Задание №9.

1. Мотком проволоки длиною 20 м. требуется огородить клумбу, имеющую форму кругового сектора. При каком радиусе круга площадь клумбы будет наибольшей?

2. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместительностью V=16р. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высоты Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

3. Каковы должны быть размеры(радиус основания R и высоты H) открытого сверху цилиндрического бака максимальной вместимости, если для его изготовления отпущено S= 27 материала?

4. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какой должна быть высота Н воронки, чтобы ее объем был наибольшим?

5. В треугольник с основанием b и высотой h вписать прямоугольник с наибольшей площадью.

6. Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать 108 литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести?

7. Контейнер для перевозки труб должен быть выполнен в виде открытого сверху ящика длиной 6 м и объемом 75 м. куб. Каковы должны быть ширина и высота контейнера, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

8. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения 18 м. при каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

9. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 10 см. определить ее большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

10. Найти соотношение между радиусом R и высотой h цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.