Лекция по теме «Компланарные вектора»

Лекция по теме «Компланарные вектора»

Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Иначе: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.	Текст Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
На рисунке векторы CA, CA1,DD1  компланарны, так как, если отложить от точки C вектор CC1=DD1 то все три вектора  CA, CA1,CC1 и окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы DC, CA, DD1 не компланарны, так как вектор DD1 не лежит в плоскости ACD.	Рисунок параллелепипеда –компланарные и
Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.	Текст Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.
Докажем признак компланарности трех векторов.  Если вектор можно представить в виде =x, где х и у – некоторые числа, то векторы – компланарны.	Текст Признак компланарности трех векторов Если вектор можно представить в виде =x, где х и у – некоторые числа, то векторы – компланарны.
Для доказательства будем считать, что векторы а и в неколлинеарны, так как если они коллинеарны, то компланарность очевидна. Отложим от произвольной точки О векторы ОА и ОВ, равные соответственно векторам данным а и в. Вектороы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. Вектор ОА1 равен вектору ОА, умноженному на число х. Вектор ОВ1 равен вектору ОВ, умноженному на число у. Векторы ОА1 и ОВ1 так же лежат в этой плоскости. Следовательно, их сумма тоже лежит в этой плоскости. А их сумма равна вектору с. Значит, и вектор с лежит в этой плоскости. Векторы а, в и с компланарны. Что и требовалось доказать.	Текст Признак компланарности трех векторов Дано:; =x Доказать: – компланарны. Доказательство: Рисунок параллелограмма Текст , , т. е. –компланарны
Справедливо и утверждение, обратное признаку компланарности векторов: Если векторы а, в, с компланарны, а векторы а и в неколлинеарны, то вектор с можно представить как сумму  x, при чем коэффициенты х и у определяются единственным образом. В таком случае говорят, что вектор с разложен по векторам а и в.	Текст Утверждение, обратное признаку компланарности векторов Если векторы – компланарны, то вектор можно представить в виде =x.
Рассмотрим задачу № 000(а)  Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.   Компланарны ли векторы АА1, СС1, ВВ1? Решение : Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. А в нашем случае все три вектора являются коллинеарными так как лежат на параллельных ребрах параллелепипеда, значит, эти векторы компланарны.	Текст Задача № 000(а) Рисунок параллелепипеда Текст Т. к. АА1||BB1||CC1, то – коллинеарные,   - компланарны
Рассмотрим задачу   Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.   Компланарны ли векторы АD, СС1, А1В1? Решение: Вектор АА1 равен вектору СС1, вектор АВ равен А1В1. Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС. Значит, и АD, СС1, А1В1- некомпланарны.	Текст Задача Рисунок параллелепипеда Текст , , , - некомпланарны