Задачи

Докажите, что одна из диагоналей ромба равна его стороне, если один из углов ромба равен: а) 60о; б)120о. В квадрате проведена диагональ. 1) Докажите, что она разбивает квадрат на два равных равнобедренных треугольника. 2) Найдите углы этого треугольника. В квадрате проведены диагонали. 1) Докажите, что при этом он разбивается на четыре равных равнобедренных треугольника. 2) Найдите углы этих треугольников. Докажите, что точка пересечения диагоналей квадрата является центром описанной около него окружности. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата, если его диагональ равна: 1) 15 см, 2) 25 см, в) т см. В окружности в центром в точке О проведены два взаимно перпендикулярных радиуса ОА и ОВ. Касательные, проходящие через точки А и В, пересекаются в точке С. 1) Определите вид четырёхугольника ОАСВ. 2) Найдите периметр четырёхугольника ОАСВ, если радиус окружности равен: 1) 17 см, 2) 23 см, 3) R см. В окружности проведены два взаимно перпендикулярных радиуса АС и BD. Определите вид четырёхугольника АВСD. Постройте квадрат по его диагонали. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной b. Диагонали ромба BCDE пересекаются в точке М, отрезок МК – перпендикуляр к стороне CD. Найдите углы треугольника СМК, если: а) ; б) ; в) . В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат, причем две его вершины лежат на гипотенузе и две – на катетах. Докажите, что гипотенуза в 3 раза больше стороны квадрата. На сторонах ромба ABCD взяты точки: М – на стороне АВ, Р – на стороне ВС, К – на стороне СD, L – на стороне АD, причём AL=AM=CP=CК. Докажите, что MPKL – прямоугольник. В прямоугольнике MNPK биссектрисы углов М и К пересекаются в точке А, углов М и N – в точке С, углов Р и К – в точке D, биссектрисы углов Р и N – в точке В, лежащей на стороне МК. Определите вид четырёхугольника ABCD. Начертите произвольный отрезок АВ. Разделите его на: 1) 5 равных частей, 2) 6 равных частей. В прямоугольном треугольнике из середины гипотенузы опущены перпендикуляры на катеты. Докажите, что они являются средними линиями треугольника. (Используйте теорему Фалеса) В треугольнике АВС проведена средняя линия MN . Найдите стороны треугольника MNB, если: 1) АВ=8, ВС=9, АС=10; 2) АВ=7, ВС=12, АС=8; 3) АВ=т, ВС=n, AC=l. В треугольнике BCD точки О, Р, R середины сторон. 1) Определите стороны треугольника BCD, если известны стороны треугольника ОРR: а) 12, 10, 9; б) 8, 11, 7. 2) Определите периметр треугольника OPR, если известны стороны треугольника BCD: а) 16, 18, 22; б) 18, 20, 26. 3) Докажите, что периметр OPR в 2 раза меньше периметра треугольника BCD. В равнобедренном треугольнике ABD с основанием АВ проведены средние линии ОМ и МК . 1) Определите вид четырёхугольника АКМО. 2) Найдите периметр АКМО, если стороны АВ и DB  соответственно равны: а) 22 м и 42 м; б) 14 дм и 11 дм; в) т и n. Прямые АМ, BN и СО параллельны и DM=MN=NO. Найдите: 1) длину отрезка DC, если: 1) АВ=12, б) ВС=9, в) AD=т; 2) длину отрезка АВ, если: а) BD=16, б) АС=18, в) DC=b; 3) длину отрезка АС, если: а) CD=27, б) DC=36, в) DB=a.

В параллелограмме МРОК взяты точки: А – середина стороны МР, В – середина стороны РО, С – середина ОК и D – середина стороны МК. 1) Докажите, что отрезки АВ и CD параллельны диагонали ОМ равны ее половине. 2) Докажите, что отрезки АВ и CD параллельны и равны. 3) Докажите, что ABCD – параллелограмм. 4) Докажите, что если МРОК – прямоугольник, то ABCD – ромб. 5) Найдите периметр ромба ABCD, если ОМ=а. Отрезок BD – медиана равнобедренного треугольника АВС с основанием АС, DM – медиана треугольника ABD, а DK – медиана треугольника DBC. Докажите, чо DMBK – ромб и найдите его периметр, если АВ=42 см. Начертите отрезок а. Постройте отрезок b=. Сторона АВ треугольника АВС разделена на 4 равных отрезка: АМ1=М1М2=М2М3=М3В. Через точки М1, М2 и М3 проведены параллельно стороне АС прямые, пересекающие сторону ВС соответственно в точках N1, N2 и N3. 1) Найдите длины отрезков M2N2 и M3N3, если АС=48 см. 2) Докажите, что отрезок М1N1 в 3 раза больше, чем M3N3. (Выполните дополнительные посторения: через точки N2 и N3 проведите прямые, параллельные АВ). Медианы DM и ВК равнобедренного треугольника DCB с основанием DB пересекаются в точке О. Найдите длины отрезков МК, ВО, ОК, DO и ОМ, если BD=26 см, ВК=24 см. Докажите, что прмая, проходящая через середины двух сторон треугольника, делит пополам любой отрезок, который соединяет точку на третьей стороне с противолежащей вершиной. В треугольнике МРК проведены медианы MD, РВ и КА. Отрезок MD пересекает с ВР в точке С и с отрезком АС в точке О. Найдите CD, ОМ и ОС, если DM=48 см. Дана трапеция МРОК с основаниями МК и ОР. Найдите: 1) неизвестные углы трапеции, если: а) ; б) ; 2) и , если: а) ; б) ; 3) углы треугольника MKN (где N – точка пересечения диагоналей трапеции), если углы ОРК и РОМ соответственно равны: а) 72о и 78о; б) 36о и 54о; в) б и в. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О, из которой опущен перпендикуляр ОК на сторону ВС. Определите вид четырёхугольника АВКО и найдите все его углы. Трапеция CDEF – равнобокая, СF и DE – её основания. 1) Найдите неизвестные углы трапеции, если: а) ; б) ; в) . 2) Докажите, что ∆FCE=∆CFD. 3) Найдите углы треугольника FCE, если известно, что: а) ; б) . Дано: KMNO – трапеция, NA||КМ (см. рисунок). Определите вид четырёхугольника KMNA. Докажите, что Найдите углы треугольника ANO и четырёхугольника KMNA, если: а) ; б) . Докажите, что если трапеция равнобокая, то ∆OAN – равнобедренный с основанием ОА. Докажите, что если ∆OAN – равнобедренный с основанием ОА, то трапеция – равнобокая.

Найдите углы равнобокой трапеции, если её меньшее основание равно боковой стороне и в два раза меньше другого основания. Отрезок ВЕ параллелен стороне CD трапеции BCDF, ВС=а, CD=b, BF=d. Найдите: 1) стороны четырёхугольника BCDE и треугольника BEF; 2) среднюю линию трапеции и среднюю линию треугольника BEF, параллельную стороне EF.

В треугольнике ВСD проведена средняя линия РК (точка Р лежит на стороне ВС, точка К – на стороне СD). 1) Определите вид четырёхугольника BPKD. 2) Найдите длину отрезка MN, где М – середина отрезка ВР, N – середина отрезка КD, если: а) ВD=а; б) РК=b. 3) Найдите углы треугольника РКС, если: а) BC=DB, ; б) BC=DB, . В трапеции ABCD проведены перпендикуляры ВН и СК к основанию AD. Определите: 1) вид четырёхугольника ВСКН, треугольников АВН и CKD; 2) стороны четырёхугольника ВСКН, если AD=a, AH=b, KD=c, BH=d; 3) среднюю линию трпеции, если: а) АН=5 м, НК=7 м, КD=9 м; б) АН=7 м, НК=9 м, КD=11 м.

В равнобедренной трапеции DEFC на большее основание DC опущеныы перпендикуляры ЕА и FB. 1) Докажите, что ∆DEA=∆CFB. 2) Чему равны отрезки DA и СВ, если: а) EF=8 см, CD=30 см; б) EF=10 см, DC=28 см?