Обучение через задачи

Обучение через задачи.

Статья-рекомендация учителя математики высшей категории

Милюхиной Надежды Вениаминовны.

Судьба учащихся зависит от сложной работы учителей, которые должны сформировать у них готовность к восприятию своего предмета, не отбить охоту к его изучению.

Мне всегда хочется работать под девизом «Сначала влюбить, а потом учить».

Этот девиз вписывается в любую стратегию образования. Наверное, беда с восприятием математики и состоит в том, что к ней – царице наук – учат относиться почтительно, а надо просто учить любить её, как когда-то научили меня. Как привить эту любовь к такой сложной науке. Этот вопрос все время стоит передо мной. Я все время пытаюсь решить его. В меру своих сил решаю. Для этого использую метод обучения математике через задачи. Он базируется на следующих дидактических положениях:

Наилучший способ обучения учащихся, дающий им сознательные и прочные знания и обеспечивающий одновременное их  умственное развитие, заключается в том, что перед учащимися ставятся последовательно посильные теоретические и практические задачи, решение которых дает им новые знания. Обучение на немногочисленных, но хорошо подобранных задачах, решаемых школьниками в основном самостоятельно, способствует вовлечению их в творческую исследовательскую работу, последовательно проводя через этапы научного поиска, развивает логическое мышление. С помощью задач, последовательно связанных друг с другом, можно ознакомить учеников даже с довольно сложными математическими теориями. Усвоение  материала курса через последовательное решение учебных задач происходит в едином процессе приобретения новых знаний и их немедленного  применения, что способствует развитию познавательной самостоятельности и творческой активности учащихся.

Теоретический материал изучаемого математического курса раскрывается 

Конкретно-индуктивным путем. Учащиеся, решая самостоятельно подготовленные задачи, анализируя, сравнивая и обобщая результат решений, делают индуктивные выводы.

Способы решения конкретных задач таковы, что их можно применить при решении обобщенной задачи (теоремы), тем самым ученики готовятся к доказательствам, которые они в дальнейшем могут осуществлять самостоятельно при выполнении нестандартных упражнений на применение теории и решение задач повышенной трудности.

Весь материал темы раскрывается через задачи. Новое положение выводится чисто логическим путем от общего к частному. Теоремы имеют вид задач. Полученные знания находят применение при решении творческих исследовательских задач и при изучении дальнейшего материала. 

Материал темы раскрывается через задачи комбинированным путем, то есть как конкретно – индуктивным, так и дедуктивным. В теме содержатся подготовительные, основные и вспомогательные задачи. Для индивидуальной работы предусматриваю задачи повышенной трудности, творческие, исследовательские.

Подготовительные задачи чаще всего располагаются в серии с нарастающей трудностью. Решение подготовительных задач способствует решению более трудных задач.

Каждая подготовительная задача должна быть небольшой по объему информации, доступной для самостоятельного решения учащимися. Особенно важно это для первых задач серии, так как успех в решении одной задачи стимулирует самостоятельную деятельность школьника при решении следующей. Задачи подбираются средней трудности, чтобы быть доступными всем ученикам. Если взять слишком легкие задачи, то у сильных учащихся пропадает интерес к их решению. Слишком же трудные  задачи исключают самостоятельность решения для всех учащихся. При возникновении затруднения учителем должны быть оказана помощь, но после того, как первые учащиеся, успешно решившие серию,  исполняют роль консультантов. Ребята с удовольствием обращаются с вопросами к консультантам. Часть учеников, которые сами успешно справились с серией задач – исполняют роль учителя. Сами проверяют и оценивают работы своих одноклассников. Роли консультантов и «учителей» не закрепляются постоянно и поэтому ученики стремятся сделать свою работу быстро и верно. В ходе решения задач обязательно их письменное оформление, чтобы можно было, охватив решения всех задач серии, проследить пути решения основной задачи – проблемы, сделать необходимые обобщения. Если первые задачи серии окажутся для какого-то ученика слишком легкими, он может по своему усмотрению начать письменное оформление решений со следующей задачи, то есть с промежуточной задачи.

Решение задачи обсуждается коллективно, анализируются различные способы решения, проводится обобщение полученных результатов, формируется учебная проблема и намечается способ её решения. Всячески поощряется самостоятельность суждений, особое внимание уделяю обучению учащихся отстаиванию своего собственного мнения, при этом развивается монологическая математическая речь ученика.  И если ученик оказывается прав, то у него резко возрастает авторитет и самооценка. Что очень важно в подростковом возрасте. С удовольствие позволяю поспорить друг с другом и с учителем. Для этого не обрываю ученика и не исправляю, если решение не верно. В процессе рассуждения ученик (тот который решал или другой ученик) находит ошибку и с удовольствием её исправляет.

Приведу пример серии задач с нарастающей трудностью по теме «Площади».

Вспомнить формулы площади квадрата и прямоугольника. Как найти площадь параллелограмма, зная, как находится площадь прямоугольника. (Вывод площади параллелограмма проходит, как решение задачи.) Как найти площадь треугольника, зная, как находится площадь параллелограмма. Решается задача нахождения площади трапеции, зная, как находятся площади треугольника и параллелограмма. Решается задача нахождение площади любой простой фигуры.

Это пример серии задач при изучении теории. Стараюсь теоремы перефразировать так, чтобы они звучали как задачи. Очень многие теоремы учащиеся доказывают сами и в конце сами формулируют вывод. Слова «Доказать теорему» - на  них наводит страх и ученики боятся выходить к доске и доказывать новую теорему, а задачи решают спокойно, конечно с помощью учителя.

Можно рассмотреть ещё один пример как от простых задач, можно перейти к теоретическим задачам. Урок по теме «Декартовы координаты» 11 класс.

Найти координаты вектора АВ, если а) А(3;-1;2), В(2;-1;4), б) А(1;; ), В(;;1). Даны точки А(3;-1;5), В(2;3;-4), С(7;0;-1), Д(8;-4;8). Докажите, что и равны. Равны ли векторы и ? Вершины ∆ АВС имеют координаты: А(1;6;2), В(2;3;-1), С(-3;4;5). Найти: а) Р ∆АВС; б)медианы ∆АВС. Определите вид∆АВС, если А(9;3;-5), В(2;10;-5), С(2;3;2). Даны точки А(1;0;к), В(-1;2;3), С(0;0;1). При каких значениях к ∆АВС является равнобедренным? Докажите, что точка пересечения медиан  ∆АВС с вершинами А(х1,у1,z1), В(х2,у2,z2), С(х3,у3,z3) имеет координаты (; ; )

Идея использования вспомогательных задач возникла на основе наблюдения психологов о том, что при решении сложной задачи учащиеся обычно ищут, под какой из уже известных типов задач можно было бы её подвести. При этом они, анализируя условие задачи, осуществляя поисковые пробы, пытаются воспользоваться такими данными, которые способствовали бы переносу уже имеющихся в их опыте (полученном при решении ранее встречающихся задач) общего или частного метода, способа или приема решения задач. То есть способы решения одной задачи оказывают существенное влияние на самостоятельные поиски решения другой.

Вспомогательные задачи являются своеобразными указаниями к самостоятельной деятельности ученика  при решении основной задачи. Они отличаются от указаний и готовых решений, имеющихся в большинстве пособий по математике для самостоятельной подготовки к конкурсным экзаменам, рецептов тем, что не содержат рецептов, не навязывают способ решения, не дают готового решения. Указание (подсказка) во вспомогательной задаче заключается в её решении: нужно сначала самостоятельно решить вспомогательную задачу, а затем обнаружить содержащуюся в ней подсказку.

Составление вспомогательных задач наталкивается на серьезные трудности. Трудность заключается в отборе лучшей (оптимальной) серии. Трудность заключается в том, что одна и та же серия задач для разных учащихся имеет различную эффективность: для одних серия слишком длинна, для других коротка, для одних одни и те же задачи слишком легки; для других трудны. Кроме того, вспомогательные задачи  навязывают ученику определенный путь решения. Но и при подсказке учителя также навязывается ученику способ решения, намеченный учителем. С этой трудностью столкнулась, работая в 5 классе. Этот класс шел по программе «Гармония» и при решении определенных задач они мыслят и рассуждают совершенно иначе. И уже мне, учителю, приходится учиться мыслить по другому. Учебники «Математика 5 и 6 класс» автора составлен таким образом, что обучение происходит через задачи. Весь новый материал рассматривается через задачи. Причем эти задачи рассматриваются в двух вариантах. Я всегда предлагаю учащимся рассмотреть эти задачи и другими способами. Трудность заключается в том, что этих задач катастрофически мало. В этом смысле хорошо обстоит дело в учебниках автора В учебнике, новый материал излагается и приводится серия задач. В задачнике упражнений достаточно и можно составить серию задач дифференцированно.

Так воспитывается умение при решении возвращаться к своему опыту и применять его при продвижении вперед. Последнее является важным звеном умения решать задачи, умения самостоятельно приобретать знания.

Новые темы, построенные на задачах, не содержат деления материала на теоретическую и практическую части. Сами задачи – это и есть изучаемый курс. Поэтому и содержание задач, и способы решения их направлены как на вооружение учащихся теоретическими знаниями, так и на выработку умений и закрепление навыков. Рассматриваемые определения обычно включаются в содержание задач. Возможна формулировка определений и отдельно от задач. Некоторые теоремы (их достаточно много) имеют тоже вид задач. Если теорема большая или сложная, то она разбивается на последовательность таких задач, что решение предыдущей облегчает решение последующей, а совокупность этих решений дает доказательство

теоремы.

Перед изучением темы нужно организовать пропедевтическую работу, которая ставит своей целью подготовить учащихся к самостоятельному активному изучению материала. В частности, здесь выявляются и ликвидируются пробелу в знаниях. Затем ввожу учеников в тему (беседа), намечаю круг вопросов, подлежащих изучению, подвожу учеников к самостоятельной формулировке первой проблемной задачи темы. Основным этапом занятий является самостоятельное решение задач. Учащимся в процессе самостоятельной работы разрешаю пользоваться учебниками, справочниками и конспектами, но только своими, а не соседа по парте, так как необходимо умственное развитие, умение самостоятельно добывать нужную информацию из имеющихся источников. Моя задача научить школьника учиться. Дифференцированная помощь носит характер не подсказки, а направление на верный путь решения, для чего используются вспомогательные задачи. Причем эти задачи иногда невозможно спланировать, так как невозможно предусмотреть все трудности, где споткнется ученик.

Расположение задач в серии по принципу нарастающей трудности стимулирует развитие учеников. После решения всех задач серии проводится коллективное обсуждение результатов. Полученный материал обобщается для последующего применения, делается вывод. Всячески поощряю самостоятельность учеников в суждениях, отстаивании своего мнения. Испытываю наслаждение, когда один ученик у доски рассказывает решение задачи, а другие задают ему вопросы и он им объясняет. Все ошибки на доске не исправляю сама, иногда ошибка обучает лучше, чем сама задача. Приучаю учащихся с 5 класса не выкрикивать с места об ошибках, допущенных учеником у доски, а проявлять сою тревогу поднятием руки. Ученик, работающий у доски, иногда оглядывается на весь класс, если нет поднятых рук, значит все правильно.

Работа по этой методике дисциплинирует ребят, они не опаздывают на урок. Работая, таким образом, я решила перейти на методику «погружение». Несколько лет работаю таким образом. Это помогает формировать целостное  представление об изучаемой теме. Эта методика идет особенно хорошо, если ведешь класс с 5 класса. Потому что все необходимые навыки, особенно хорошо прививаются в 5 классе. Если берешь 7 или 8 класс, то там уже есть много трудностей и эта методика идет с трудом. Перед уроком я пищу на доске серию задач, которую должны решить в классе и пониже серию задач на дом. На дом, иногда предлагаю последнюю задачу достаточно трудную, заранее  предполагая, что её решат не все, а может быть никто. Но зато возникает вопрос у учащихся и любопытство. На следующем уроке обязательно разбираем её. А если кто-то решил эту задачу, то этот ученик предлагает свое решение. Иногда это решение интереснее моего. Как показывает опыт, обучение через задачи обеспечивает развитие самостоятельности и активности учащихся, способствует приобретению прочных и осознанных знаний, развивает умение сравнивать, обобщать, поддерживает интерес к математике. С использованием этой методики ушло списывание, как домашних работ, так  самостоятельных и контрольных работ.