Формулы сокращенного умножения
Название | Формула | Чтение формулы | Доказательство формулы | Примеры | Примечания |
1.Квадрат суммы | (a+b)2=a2+2ab+b2 | Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. | (a+b)2=(a+b)(a+b)= =a2+ab+ab+b2= =a2+2ab+b2 | 1.(2+c)2=22+2.2.c+c2=4+4c+c2 2.(3х+1)2=(3х)2+2.3х.1+12= =9х2+6х+1 3.(5с+3y2)2=(5c)2+2.5c.3y2+(3y2)2= =25c2+30cy2+9y4 | (a+b)2=(b+a)2 (a+b)2=(-a-b)2 |
2. Квадрат разности | (a-b)2=a2-2ab+b2 | Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. | (a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2= = a2-2ab+b2 | 1.(2-c)2=22-2.2.c+c2=4-4c+c2 2.(3х-1)2=(3х)2-2.3х.1+12= =9х2-6х+1 3.(5с-3y2)2=(5c)2-2.5c.3y2+(3y2)2= =25c2-30cy2+9y4 | (a-b)2=(b-a)2 |
3. Куб суммы | (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 | Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа. | (a+b)3=(a+b)2 (a+b)= =(a2+2ab+b2)(a+b)= a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3= a3+3a2b+3ab2+b3 | 1.(2+c)3=23+3.22.c+3.2c2+c3= =8+12c+6c2+c3 2.(3х+1)2=(3х)3+3.(3х)2.1+3.3х.12+ +13=27х3+27х2+9х +1 | (a+b)3=(b+a)3 (a+b)3= -(-a-b)3 |
4. Куб разности | (a-b)3=a3-3a2 b+3ab2-b3 | Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа. | (a-b)3=(a-b)2 (a-b)= =(a2-2ab+b2)(a-b)= a3-a2b-2a2b+2ab2+ab2-b3= =a3-3a2b+3ab2-b3 | 1.(2-c)3=23-3.22.c+3.2c2-c3= =8-12c+6c2-c3 2.(3х-1)2=(3х)3-3.(3х)2.1+3.3х.12 -13 =27х3-27х2+9х -1 | (a-b)3=-(b-a)3 |
5. Разность квадратов | a2-b2=(a-b)(a+b) | Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы и разности этих чисел. | (a-b)(a+b)= =a2+ab-ab-b2=a2-b2 | 4x2-9y2=(2x-3y)(2x+3y) x6-y10=(x3-y5) (x3+y5) | a2-b2= -(b2-a2) |
6. Сумма кубов | a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) | Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат разности этих чисел. | (a+b)(a2-ab+b2)= =a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3= = a3+b3 | 1.8+c3=(2+c)(22-2c+c2)= =(2+c)(4-2c+c2) 2.27x6+8y3= =(3x2+2y)((3x2)2-3x2∙2y+(2y)2)= =(3x2+2y)(9x4-6x2y+4y2) | a3+b3=b3+a3 |
7. Разность кубов | a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) | Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат суммы этих чисел. | (a-b)(a2+ab+b2)= =a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3= = a3-b3 | 1.8-c3=(2-c)(22+2c+c2)= =(2-c)(4+2c+c2) 2.27x6-8y3= =(3x2-2y)((3x2)2+3x2∙2y+(2y)2)= =(3x2-2y)(9x4+6x2y+4y2) | a3-b3=-(b3-a3) |
Примечание. Невозможно разложить на множители сумму квадратов двух чисел a2+b2 .
