Функции комплексной переменной.
Предел. Непрерывность
Если каждому значению комплексной переменной 
из области ее изменения 
по некоторому правилу соответствует одно (в случае однозначной функции) или большее число (в случае многозначной функции) значений другой комплексной переменной 
, то 
называется функцией комплексной переменной 
, определенной в области 
:
.
Значения функции 
заполняют некоторую область 
(область изменения функции на комплексной плоскости 
).
а) б)
Рисунок 3
Геометрически заданную на 
однозначную функцию 
можно рассматривать как отображение области 
комплексной плоскости 
на некоторое множество 
комплексной плоскости 
.
Точку 
называют образом точки 
на плоскости 
(рис. 3б), а 
– называют прообразом точки 
(рис. 3а). Функция 
осуществляет отображение точек комплексной плоскости 
на соответствующие точки комплексной плоскости 
.
Комплексное число 
называют пределом последовательности комплексных чисел 
, если для любого поло-
жительного числа 
можно указать такое число 
, начиная с которого все элементы 
этой последовательности удовлетворяют неравенству:
при 
,
то есть
Последовательность 
сходится к числу 
, тогда и только тогда, если
и 
.
Если 
, то он изображает бесконечно удаленную точку. Окрестностью бесконечно удаленной точки будем называть внешность круга достаточно большого радиуса: 
.
Последовательность 
, имеющая конечный предел 
, называется сходящейся:
Комплексную плоскость, дополненную бесконечно удаленной точкой, будем называть расширенной плоскостью.
Число 
называется пределом функции 
, если для любой сколь угодно малой 
окрестности точки 
можно найти такую 
окрестность точки 
(кроме, быть может, самой точки 
), что для всех значений 
, удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
,
то есть
Функция 
называется непрерывной в точке 
, если
,
или
.
Функция 
комплексной переменной 
называется непрерывной в области 
, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Если функции 
и 
непрерывны в точке 
, то 
– есть функции, непрерывные в этой же точке 
, а частное 
– функция, непрерывная в точке 
, если 
.
