Решить уравнение

1.Решить уравнение (n - целое число) в целых числах.

Решение:

D=9-4(9-9) =9-36+4∙9=9(1-4+4)=9(4-3)

X=

X=

Для решения в целых числах необходимо, что бы подкоренное выражение было полным квадратом.

4-3=

4-=3

(2n-k)(2n+k)=3

Находим возможные значения n.  k0

2n-k=3  2n+k=1

2n-k=-3  2n+k=-1

2n-k=1  2n+k=3

2n-k=-1  2n+k=-3

    нет решений.

   

Получаем n1  n=-1 

При n=1.  При n=-1

+3x+9-9∙  +3x+9-9∙)=0

X(x+3) =0  +3x=0

X=0 или x+3=0  X(x+3) =0

  X=-3  X=0 или x=-3

Ответ:  0; -3.

2. k точек на плоскости расположены так, что любой треугольник с вершинами в этих точках имеет площадь не больше 1. Доказать, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.

Р

Рассмотрим треугольник максимальной площади с вершинами в данных точках. Пусть это будет треугольник ABC. Через точки A, B, C проведем прямые lA, lB, lC, параллельные сторонам BC, CA, AB соответственно. Обозначим треугольник, образованный прямыми lA, lB, lC через A1B1C1. Площадь этого треугольника в 4 раза больше площади треугольника ABC, следовательно, она не превосходит 4. Покажем, что каждая данная точка находится в треугольнике A1B1C1. Предположим противное. Тогда существует точка D из данного множества, находящаяся с некоторой вершиной треугольника A1B1C1 по разные стороны относительно стороны, противолежащей этой вершине. Пусть, например C1 и D находятся по разные стороны относительно стороныB1A1. Тогда расстояние от точки D до AB больше, чем расстояние от точки C до AB. Следовательно, площадь треугольника ABD больше площади треугольника ABC, что противоречит выбору треугольника ABC.

3.Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи массой по 10 г каждый. Одна из машин испортилась и смогла выпускать мячи массой по 5 г. Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей?

1)Берем резиновые мячи с каждой машины, только так, что с 1 машины один мяч, с 2 машины два мяча, с 3 машины три мяча, и д. т.

2)Если все машины работали бы правильно, то в сумме должно было получиться 550 г.

  10+20+30+40+50+60+70+80+90+100=550

3) Представим, что сломалась первая машина. Тогда в сумме получиться 545г

  5+20+30+40+50+60+70+80+90+100=545

4) А теперь представим, что сломалась вторая машина 540 г

  10+(2∙5)+30+40+50+60+70+80+90+100=540

Теперь можно найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей.

4. Решить в натуральных числах.

+7=

Решение:

Выделим разность квадратов. Методика: необходимо размышлять о кратности, о целых числах.

+7= 

+9-2= 

-9= -2

(k-3)(k+3)=2(-2)  Получим произведение слева и справа. Это позволяет 

∙ =-2  размышлять о кратности. 

  m+L=1  L=1-m

Выражение слева должно делиться на 2

  - минимальное, которое дает кратность это m=0, тогда L=1

Для того чтобы  целое ∙ нецелое равнялось целому это 0=0

Значит k=3 ,  n=1

K=-3 не подходит, так как нужны натуральные числа.

Ответ: k=3, n=1

+7=

+7=

9=9

5.        Разложить на множители: A= 

Решение: A==+4-4=-4=

=

6. В арифметической прогрессии, состоящей из четырех целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных трех членов. Найти члены этой арифметической прогрессии.

Решение: a; a+d;  a+2d;  a+3d  а и d - целые числа.

а+3d=+(a+d+(a+2d

а+3d=++2ad+++4ad+4

3+6ad-a-3d+5=0

3+ (6d-1)a+5-3d =0

Рассмотрим квадратное уравнение, пусть а - неизвестное, d-параметр

3+ (6d-1)a+5-3d =0

D=(6d-1-43∙ (5-3d)=36-12d+1-60+36d= -24+24d+1

Для того чтобы уравнение имело решение необходимо, чтобы D≥0

-24+24d+1≥0

-24+24d+1=0

24-24d-1=0

D=576+96=672

====

=

==0.04

=

d=0;  d=1 – это целые значения

d=0 – не подходит, так как даны различные значение

d=1 уравнение примет вид

3+5a+2=0

D=25-4 3∙ 2=1

= =  не подходит

= -1 

Ответ: -1; 0; 1; 2.

7. Решить уравнение: 

=8.  Используем формулу: =(-2ab

=8

=8

=8

- =8  пусть =t

- =8 

-2t-8=0

D=4-4∙(-8)=36

=4  =-2

=4  = -2

=4(x-1)  =-2(x-1)

-4 x+4=0  +2x-2=0

(X-2=0  D=4-4(-2)=12

X-2=0  ==-1+

x=2  ==-1-

Ответ: -1±; 2

8.Доказать (без таблицы):.

=3

=3

==3

=3

=3

=3

=3.  Используем формулу:

=3  3x

=3

3=3

9.Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы ни одна из них не могла бить другую?

Решение1: Ладья на первой горизонтали может занимать 8 разных положений. Если это положение фиксировано, то ладья на второй горизонтали может занимать уже только 7 положений. Аналогично для ладьи на третьей горизонтали остается 6 вариантов и т. д. Итого  8•7•6•5•4•3•2 = 8!  способов.

Решение 2 . Чтобы ладьи не били друг друга, необходимо, чтобы на каждой вертикали и на каждой горизонтали стояла ровно одна ладья. Будем расставлять ладьи следующим образом: первую ладью ставим на первую горизонталь, вторую ладью — на вторую, и т. д., но так, чтобы они все были на разных вертикалях. То есть надо заполнить таблицу, в верхней строке которой стоят номера ладей (или, что то же самое, горизонталей) по порядку, а в нижней номера вертикалей. Число способов сделать это равно числу способов упорядочить 8 чисел. А оно равно 8! = 51840

8!=12=40320

Ответ.  8! =40320.

10. Докажите, что при любых отличных от нуля числах  a, b, c  хотя бы одно из квадратных уравнений

 

имеет корень.

Предположим, что ни одно из уравнений не имеет корней, тогда дискриминант всех этих уравнений отрицательный.

1) D= -4ac 

2) D= -4ab 

3) D= -4bc 

Получаем неравенства.

<4ac,  <4ab,  <4bc

<ac,  <ab,  <bc 

Левые части всех этих неравенств неотрицательны, значит и правые тоже неотрицательны. Перемножим все три неравенства и получим:

<ac

∙ <ab 

<bc

< 

Значит, хотя бы одно из уравнений имеет корень