Лекция по теме «Параллельность трех прямых»
Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость. | Текст Лемма о параллельных прямых Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость. |
Рассмотрим параллельные прямые а и b, одна из которых (прямая а) пересекает плоскость | Текст Дано: Доказать: b и имеют общую точку, причем она единственная Картинка
|
1)Пусть прямая а пересекает плоскость в точке М. Прямые а и b лежат в одной плоскости, назовем её 2)Прямая с лежит в плоскости 3) Прямая с лежит и в плоскости альфа. Поэтому точка Р принадлежит также плоскости альфа. Если предположить, что существует ещё одна точка, принадлежащая и прямой b и плоскости альфа, то это означает, что прямая b лежит в этой плоскости и совпадает с прямой с и пересекает прямую а. А это противоречит условию. Точка Р – точка пересечения прямой b и плоскости альфа. Что и требовалось доказать. | Картинка
Доказательство: 1)a а, b 2) 3)
ч. т.д |
Эта лемма поможет доказать теорему о параллельности трёх прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. | Текст Теорема о параллельности трех прямых в пространстве Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. |
Докажем эту теорему. Пусть прямая а параллельна прямой с и прямая b параллельна прямой с. Докажем, что а параллельна b. Доказательство. Для этого нужно доказать, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются. 1) Отметим точку К на прямой b. Точка К и прямая а определяют плоскость, обозначим её . Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости. 2) Допустим прямая b не лежит, а пересекает эту плоскость. По лемме о параллельных прямых, прямая с, параллельная b, также пересекает эту плоскость. Но тогда и прямая а, параллельная с тоже пересекает плоскость альфа. Противоречие с условием задания плоскости. Значит прямая b лежит в плоскости. Прямые а и b не пересекаются, так как иначе через точку их пересечения проходило бы две прямые, параллельные прямой с, что противоречит теореме параллельных прямых. Теорема доказана | Картинка
Текст Дано: a||с, b||с Доказать: a || b Доказательство: Необходимо доказать что а и b 1) отметим К 2) (от противного) b Противоречие а Наше предположение не верно, т. е. b ч. т.д |
Решим задачу. Задача 1 На рисунке точки M, N, Q и Р – середины ребер DP, DC, AC, AB. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD= 12 см, BC= 14 см. | Картинка
Текст Дано: М – середина BD N – середина CD Q – середина АС P – середина АВ АD = 12 см; ВС = 14 см Найти: PMNQP. |
Решение: 1) Рассмотрим треугольник ВСD. Отрезок MN является средней линией, значит, он параллелен ВС. Отрезок QР – средняя линия треугольника АВС и параллелен ВС. По теореме о параллельности трех прямых, MN параллельно QР. 2)МР – средняя линия треугольника DВА, МР параллельно DА. Отрезок NQ – средняя линия треугольника АСD, NQ параллелен DА. Значит, МР параллельно NQ. 3)В четырехугольнике MNQP противоположные стороны попарно параллельны, значит, MNQP – параллелограмм. 4)Периметр параллелограмма MNQP равен удвоенной сумме смежных сторон. Длины этих сторон найдем как длины средних линий, равных половине параллельных сторон треугольника. MN равен половине ВС, 14:2 =7см, МР равен половине DА, то есть 6 см. В результате периметр равен 26 см. Задача решена. | Картинка (если на разных экранах то тетраэдр дублируется)
Текст Решение: 1) ДВСD: MN – средняя линия, MN || ВС; ДАВС: QР – средняя линия, QР || ВС. Значит, MN || QР. 2)Д DВА: МР – средняя линия, МР || DА; ДАСD: NQ – средняя линия, NQ || DА. Значит, МР || NQ. 3) из 1) и 2) 4) PMNQP = 2(MN+ МР);
МР= PMNQP= 2(7+ 6)=26см. Ответ. PMNQP= 26см. |
Треугольники АВС и ABD не лежат в одно плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку СD, пресекает плоскости данных треугольников Запишем условие и построим чертеж задачи. Решение Так по условию точка С принадлежит плоскости АВС а точка Д принадлежит плоскости АВД, то прямая СД пересекает плоскость АВС в точке С, а плоскость АВД в точке Д. Тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми имеем что люба прямая параллельная АД пересекает плоскость треугольника АВС и плоскость треугольника АВД. | Текст: Задача 2 Дано: ДАВС и ДАВD не лежат в одной плоскости Доказать, что любая прямая, параллельная отрезку СD пересекает плоскости АВС и АВD Картинка:
Текст: Доказательство Т. к. С то CD (по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми) Любая прямая || CD |
. Докажем, что и прямая b пересекает эту плоскость, то есть имеют одну общую точку
. Плоскости 
и 
имеют общую точку М, значит, они пересекаются по прямой с.
и пересекает прямую а, значит она пересекает и параллельную ей прямую b в точке Р.
= M
, c
a 
c 
b=P
, 
, и а 
b
а
К и а определили плоскость 
, т. е. К
и а
, b||c 
(по лемме о параллельных прямых) с 
, но тогда и а
, т. к. а||c.
.
. И a||b,
MNQP – параллелограмм.
, 
DA=6см.
АВС и D
ABD,
ABC=C и СD
ABD=D
ABC и ABD