ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ
«РОМАНОВСКАЯ ШКОЛА»
(ГБОУ Романовская школа)
Исследовательская работа на тему:
Исследование ленты Мёбиуса и её свойств: топологический курьёз или удивительное открытие в мире науки
Выполнила : , обучающаяся 11 класса «К»
Руководитель : , учитель математики
Москва
2017 год
Оглавление:
Введение Основная часть История открытия Представления о ленте Мёбиуса Получение листа Мёбиуса Применение в современном мире Искусство Архитектура Лента Мебиуса и знак бесконечности
2.7. Интересное
3. Заключение
Введение
Лентой Мёбиуса закручен путь
В какую сторону не иди…
Обязательно увидишь ещё раз того,
Кого однажды встретил на пути…
Если нужно кого-то догнать,
Не трать сил, времени на ускорение…
Лучше просто подождать или
Двинуться в обратном направлении…
Во многих парках и скверах и даже в художественных музеях можно встретить необычный круг-ленту. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. Что это за лента и почему она вызывает такой интерес у художников и скульпторов? Оказывается, это лента Мебиуса, которая имеет самое прямое отношение к математике, а точнее к геометрии. Мне захотелось, как можно больше узнать о листе Мебиуса еще и потому, что эту ленту часто называют загадочной.
Целью моей исследовательской работы является изучение ленты Мёбиуса и её свойств.
Объектом изучения является лента Мёбиуса.
Задачи :
1. Прочитать математическую литературу, в которой авторы рассказывают о таком объекте как «лист Мёбиуса», исследовать полученную информацию.
2. Познакомиться со свойствами листа Мёбиуса.
3. Выяснить, где применяется лист Мёбиуса.
4. Изучить опыты с листом Мёбиуса, которые описываются в математической литературе и провести эксперименты.
Гипотеза: Скорее всего на листе Мёбиуса можно писать, делать рисунки, резать его на части.
Лента Мебиуса – топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность, имеющая один край и сторону при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство. Ее также называют листом Мебиуса и поверхностью Мебиуса.
Различают ленту по способу сворачивания: по часовой стрелке и против неё. Их ещё называют правая и левая лента Мебиуса. Но различить «на глаз» ленты невозможно. Она уникальна и отлична от всех других предметов, которые могут встретиться в повседневной жизни.
Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Энштейна и его предположением, что космический корабль, все время летящий по одной траектории, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров – ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мебиуса и вернувшиеся в исходную точку, превратятся в своих зеркальных двойников.
Также существует гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Более того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себе и происходит самоуничтожение. Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале –это своеобразный перенос во времени, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального двойника.
История открытия
Такой непростой объект был и открыт необычно. Стоит сказать, что лента была одновременно открыта двумя математиками, проводившими свои исследования обособленно, в 1858 году. Следующим интересным фактом можно считать, что эти два ученых были в разное время учениками одного и того великого математика – Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Таким образом и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают её свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот учёным, придумавшим топологию, считают Листинга. На эту тему он также написал труд «Предварительные исследования по топологии». Топология – раздел математики, изучающий явление непрерывности или свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. По одной из версий считается, что математик смог открыть данный топологический объект из-за нерасторопной служанки, которая сшила ленту, перекрутив один из её концов. Хмуро разглядывая ленту, Мебиус воскликнул: «девочка не так уж глупа!» Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленты нет изнанки!»
Представления о ленте Мебиуса
Лента Мебиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на 180 градусов и склеенная с её другим концом.
Поверхность ленты имеет только одну сторону. Это легко проверить. Нужно взять карандаш и начать закрашивать ленту в любом направлении. Вскоре вы вернётесь в тоже место, откуда и начали, закрасив все ленты целиком. Вы её даже не переворачиваете, ибо лента односторонняя.
Из этого следуют удивительные превращения ленты:
Если разрезать её вдоль(посередине) – получится не две, а одна лента. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 её ширины от края, то получаются два кольца – большое и маленькое, скреплённые вместе. Если же разрезать и получившееся маленькое кольцо вдоль посередине, то получится переплетение двух одинаковых по размеру, но разных по ширине колец.
Если перед склеиванием перекрутить ленту не один, а два раза. Такая поверхность будет уже двухсторонняя, и для её закрашивания нужно будет перевернуть ленту на другую сторону.
Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них посередине ещё раз, то вы получите уже четыре кольца, соединённых друг с другом.
Получение листа Мёбиуса
Возьмем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой С. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз (на 180 градусов). Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо – Лист Мёбиуса.
Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного листа ленты Мебиуса не сделаешь, если бумагу запрещается мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из нее ленту Мебиуса. Таким образом, существует такое число л, что из полоски длины больше л, ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски меньше л – нельзя. Очень хотелось найти это л. Удивительно, но решение этой задачи до сих пор неизвестно, пока предположили, что 1,57≤ л ≤ √ 3 ≥1,73.
Топологические свойства ленты Мебиуса
Односторонность – характерное только для ленты Мебиуса свойство. Непрерывность - на листе Мебиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет - непрерывность полная. Связность –количество связей листа Мебиуса меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – то лента двусвязна, если два оборота – односвязна, если три оборота – двусвязна. Связность принято оценивать числом Бетти. Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мебиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам листа, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение. «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мебиуса равен шести.
Применение в современном мире
В результате исследования обнаружилось, что существуют технические применения ленты Мебиуса. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.
На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.
Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.
Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них — это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.
Искусство
В результате исследования обнаружилось, что тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т. д.). Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности — Мауриц Корнелис Эшер.
Так же в мастерской Анатолия Камардина(город Тверь) представлена картина, представляющая собой ленту Мебиуса.
Картина выше Пола Билацика (Paul Bielaczyc) называется «Кельтская лента Мебиуса». Как говорит автор, эта картина - объединение различных аспектов его жизни. Кельтские узлы окружают его в его работе, картины всегда служат источником вдохновения, а лента Мебиуса имеет отношение к предмету, изучаемому художником
Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.
Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.
Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.
Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».
Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг серии «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».
Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».
Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».
В книге Е. Наумова «Полураспад» (1989 год) интеллигент-алкоголик путешествует по стране, становясь на ленту Мёбиуса.
С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo». Из аннотации к книге: «Echo» — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — «мальчиков» и «девочек» — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».
Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.
В визуальной новелле CHARON «Makoto Mobius» главный герой Ватаро пытается спасти одноклассницу от смерти, используя магический артефакт - ленту Мёбиуса.
В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.
Гоночный трек в одном из эпизодов (7 сезон 14 серия, 11 минута) мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова в соавторстве с художниками и (1976)
Архитектура
Бельгийский архитектор Винсан Каллебо разработал новое здание, которое снаружи очень напоминает ленту Мебиуса. Строение имеет форму Ласточкиного гнезда, начинаясь с треугольника, а затем поворачиваясь в виде эллипса. Внутри него можно будет прогуляться среди разнообразия растений или полюбоваться скульптурами и инсталляциями.
Международный Медиа центр и мост в Китае:
Проект Национальной библиотеки в Казахстане
:
Отель с Южной Корее и проект здания в Китае:
Проект Буддийского храма:
Лента Мебиуса и знак бесконечности
Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ стали использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса
Интересное
Проблема завязывания узлов. Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.
Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека. Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. Тот же самый эксперимент можно провести и, не расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними 40 сантиметров, чтобы обеспечить свободу движений, и руки сцепить впереди
Заключение
Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:
у школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;
у учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;
в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.
Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих, многих…В результате появились картины, скульптуры, марки, другие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса. Я считаю, что лента Мебиуса оставит очень много следов в нашей жизни.
Список литературы:
- «Внеклассная работа по математике» – «Проектная деятельность учащихся» Интернет-ресурсы
