«Расстояние от точки до плоскости».


Повторение. Вопросы:

1)Что называется расстоянием от точки А до плоскости б?

2) Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?

3) Что называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью?

4) Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?

5) Сформулировать теорему о трех перпендикулярах.

6) Сформулировать обратную теорему.

7) Что называется проекцией точки на плоскость?

8) Что является проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к этой прямой?

8) Что является проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к этой прямой?

  II.  Установите соответствие по рисунку.

1. АС  А. Проекция наклонной.

2. СВ  В. Перпендикуляр.

3. АВ  С. Наклонная.

Ответ: 1 ___, 2 _____ ,3 ______.

Решение задач.

Задача 1. Доказать, что проекции равных наклонных, проведенных из одной точки равны.

Задача 2. Найти расстояние от точки Р до плоскости треугольника, если точка Р равноудалена от его вершин. Вопросы к классу:

-Где находится точка О?

-Каким свойством она обладает? (она равноудалена от вершин треугольника, т. е. является центром описанной около треугольника окружности)

-От чего зависит местонахождение центра описанной окружности (от типа треугольника)

-Что нужно знать, чтобы найти искомое расстояние РА и РО, где РО - радиус описанной окружности)

Составим план решения задачи:

Определить тип треугольника и местонахождение точки О Сделать рисунок к задаче. Найти радиус описанной окружности.

Задача 3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10см и 17см. Разность проекций этих наклонных равна 9см. Найти проекции наклонных.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Задача 4.  В равнобедренном треугольнике ABC основание BC равно 12м, боковая сторона 10м. Из вершины A проведен отрезок AD, равный 6м и перпендикулярный плоскости треугольника ABC. Найти расстояние от точки D до стороны BC.

Задача 5. Отрезок длиной 10см пересекает плоскость, концы его находятся на расстоянии 2м и 3м от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

Задача 6. Через вершину A треугольника ABC проведена прямая AM, перпендикулярная к его плоскости, а через точку M – прямая MD, перпендикулярная к прямой AM. Известно, что AM=10 см.

Найдите:  а) расстояние между прямой MD и плоскостью ABC;

  б) расстояние между прямыми MD и AB, MD и BC, MC и AC.

Ответ: а) 10 см; б) 10 см, 10 см, 0 см.

Задача 7. Через вершины A и C квадрата ABCD со стороной 5 см проведены прямые AM и CK, перпендикулярные к плоскости квадрата.

Найдите:  а) расстояние между прямой AM и плоскостью BCK

  б) расстояние между плоскостями ADM и BCK;

  в) расстояние между прямыми DM и BK.

Ответ: а) 5 см;  б) 5 см; в) 5 см.

Задача 8. Из точки А к плоскости проведены наклонная АВ длиной 5 см. Найдите ее проекцию, если расстояние от точки до плоскости 3 см. (Устно 52 – 32 = 25 – 9 = 16. 4 см).

Задача 9. . Прямая NM параллельна плоскости.  Расстоянием от точки N до плоскости равно 6 см. Расстояние от точки М до плоскости равно ___.  (То же 6 см).

Задача 10. Точка В лежит в плоскости,  а точка А находится от плоскости на расстоянии 8 см. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости.  (Устно: 8 : 2 = 4 см).

Задача 11. Точка К находится на расстоянии 7 см от вершин треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Найдите расстояние от точки К до плоскости треугольника

Задача 12. Точка К находится на расстоянии 8 см от вершин треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 8 см. Найти расстояние от точки К до плоскости треугольника.

IV Тест.

CDEK – квадрат со стороной, равной 2см. BD перпендикулярна плоскости CDE. Найдите расстояние от точки B до плоскости CDE, если BK=√72 см.

а) 8√2 см; б) 6 см; в) 8 см; г) 6√3 см

Треугольник ACD – равносторонний. Точка S удалена от вершин треугольника ACD на 6 см, а от плоскости треугольника ACD на 3 см. Найдите сторону треугольника ACD.

а) 6√2 см; б) 9 см; в) 4√2 см; г) 4√3 см

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 20 см. Найдите расстояние между прямыми CD и BC1.

а) 10√2 см; б) 10 см; в) 20 см; г) 10√3 см

Треугольник CDE равнобедренный, CD=DE=40см, угол С равен 60°. Плоскость б проходит через сторону CD, причем сторона CE образует с плоскостью б угол в 30°. Найдите расстояние от точки E до плоскости б.

а) 18 см; б) 10√3 см; в) 20 см; г) 12√2 см.

BO – перпендикуляр к плоскости б, BA и BC - наклонные, OA и OC – их проекции на плоскость б, причем сумма их длин равна 24 см. Найдите расстояние от точки B до плоскости б, если AB=4√6 см и BC= 12√2 см.

а) 8 см; б) 6√2 см; в) 6√3 см; г) 4√2 см.

ABCD – квадрат с периметром, равным 16√3 см. Точка E удалена от всех сторон квадрата на 4 см. Найдите расстояние E от плоскости ABC.

а) 2√3 см; б) √2/2 см; в) 2√2 см; г) 2 см.

Точка K лежит вне плоскости равнобедренной трапеции ABCD (BC||AD) и удалена от ее сторон на 15 см. Найдите расстояние от точки до плоскости трапеции, если AD=24 см, BC=6 см, AB=15 см.

а) 8√3 см; б) 12 см; в) 3√21 см; г) 12√2 см

Плоскость б проходит через сторону AD квадрата ABCD и образует со стороной AB угол, синус которого равен √6/2. Найдите угол, который образует с этой плоскостью диагональ квадрата BD.

а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°.

Ответ: 8см; 9см; 10√2 см; 20 см; 4√2 см; 2см;  3√21 см; 60°.

Домашнее задание: № 47, № 66, №63.

Приложение 1.  Ответы на вопросы.


1)Что называется расстоянием от точки А  до плоскости б?

Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости б. Называется расстоянием от точки А до плоскости б.

2)Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями

3) Что называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью?

Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

4) Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми

5) Сформулировать теорему о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

6) Сформулировать обратную теорему

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

7) Что называется проекцией точки на плоскость?

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.

8) Что является проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к этой прямой?

Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к этой прямой, является прямая.

Приложение 2. Решение задач.

Задача 1. Доказать, что проекции равных наклонных, проведенных из одной точки равны.

Решение. Из точки А к плоскости б проведены перпендикуляр АС и две равные наклонные AB и AD. Прямоугольные треугольники ABC и ACD равны по гипотенузе и катету (AC - общий катет, AB = AD). Отсюда следует, что  BC = CD, проекции наклонных равны. Что и требовалось доказать.

Задача 3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10см и 17см. Разность проекций этих наклонных равна 9см. Найти проекции наклонных.

Решение. Пусть длина меньшей проекции равна х см, тогда длина второй проекции равна (х + 9)см. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников  найдем длину перпендикуляра: 102 – х2 или 172 – (х + 9)2. Решив уравнение 102 – х2 = 172 – (х + 9)2, найдем длины проекций.  100 – х2 = 289 + х2 – 18х – 81,  18х = 108, х = 6. Длина меньшей проекции равна 6 см, а длина второй проекции равна 15см.

Ответ: 6см, 15см.

Задача 4.  В равнобедренном треугольнике ABC основание BC равно 12м, боковая сторона 10м. Из вершины A проведен отрезок AD, равный 6м и перпендикулярный плоскости треугольника ABC. Найти расстояние от точки D до стороны BC.

Решение. AD – перпендикуляр к плоскости ABC, тогда DC и DB наклонные, а AC и AB их проекции. AC = AB, так как по условию треугольник АВС равнобедренный. Равные наклонные имеют равные проекции и наоборот, значит DC = DB. Отсюда треугольник BCD равнобедренный и его высота DK будет расстоянием от точки D до стороны ВС. DK является медианой, биссектрисой и высотой, тогда ВК = Ѕ ВС = 6см. Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора найдем BD.  BD2 = AB2 + AD2 = 100 + 36 = 136.  Из прямоугольного треугольника BDK по теореме Пифагора найдем DK.  DK2 = BD2 - BK2 = 136 - 36 = 100.  DK = 10см.

Ответ: 10см. 

Задача 5. Отрезок длиной 10см пересекает плоскость, концы его находятся на расстоянии 2м и 3м от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

Решение. Пусть АВ = 10м, АК = 2м, ВС = 3м.  АВ пересекается с плоскостью в точке О, так как АК и ВС перпендикуляры к плоскости, то точки К, О и С лежат на одной прямой в плоскости.  Пусть ВО = х м, тогда АО = (10 – х) м. Прямоугольные треугольники  АКО и ВСО подобны по равному острому углу, у них угол АОК равен углу ВОС, как вертикальные углы. Значит = , , 2х = 30 - 3х,  2х + 3х = 30, 5х = 30,  х = 6.  ВО = 6 м. Угол между прямой АВ и плоскостью равен углу ВОС. sinВОС = = 3/6 = Ѕ, тогда угол ВОС равен 30о. 

Ответ: 30о. 

Задача 6. Через вершину A треугольника ABC проведена прямая AM, перпендикулярная к его плоскости, а через точку M – прямая MD, перпендикулярная к прямой AM. Известно, что AM=10 см.  Найдите:  а) расстояние между прямой MD и плоскостью ABC;

  б) расстояние между прямыми MD и AB, MD и BC, MC и AC.

Ответ: а) 10 см; б) 10 см, 10 см, 0 см. 

Решение. АМ перпендикулярна плоскости треугольника АВС, то АМ перпендикулярна прямым АВ и АС. Так как MD перпендикулярна АМ, то она перпендикулярна и прямым АВ и АС, лежащим в плоскости треугольника, значит расстояние между прямой MD и плоскостью АВС будет отрезок АМ = 10см. Расстояние между прямыми MD и АВ равно 0 см, а между прямыми MD и ВС, MD и АС будет равно 10см.

Задача 7. Через вершины A и C квадрата ABCD со стороной 5 см проведены прямые AM и CK, перпендикулярные к плоскости квадрата.

Найдите:  а) расстояние между прямой AM и плоскостью BCK

  б) расстояние между плоскостями ADM и BCK;

  в) расстояние между прямыми DM и BK.

Ответ: а) 5 см;  б) 5 см; в) 5 см.

Решение:  АМ перпендикулярна плоскости квадрата, значит сторонам его.  а) Расстоянием  между прямой АМ и плоскостью ВСК будет длина их общего перпендикуляра, то есть отрезка АВ = 5 см.  б) Расстоянием  между плоскостями ADM и ВСК будет отрезок АВ = 5см.  в) Так как DM лежит в плоскости ADM, а ВК лежит в плоскости ВСК, то расстояние между ними и будет длина отрезка АВ = 5 см.

Задача 11. Точка К находится на расстоянии 7 см от вершин треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Найдите расстояние от точки К до плоскости треугольника.

Решение. Расстояние от точки до плоскости измеряется длиной перпендикуляра. Пусть точка О основание перпендикуляра, тогда как по условию точка удалена от вершин треугольника на расстоянии 7см точка О – центр окружности описанной около треугольника. R = .  S = = 12.  R = =  = 3,125 = АО.  По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОК найдем  OK2 = . ОК = = = = ≈ 6,3.

Задача 12. Точка К находится на расстоянии 8 см от вершин треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 8 см. Найти расстояние от точки К до плоскости треугольника.

Решение. S = = 12.  .  R = = . ОК2 = 82 - 2 = 64 - = = . ОК ≈ 6,8.

Приложение 2. Решение домашнего задания.