Тема: «Параллельность прямых, прямой и плоскости»

Урок 16

Тема: «Параллельность прямых, прямой и плоскости».

Цель деятельности учителя	Создать условия для  того, чтобы рассмотреть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве, понятие параллельных и скрещивающихся прямых; доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых; закрепить эти понятия на моделях куба, призмы, пирамиды.
Основное содержание темы, термины и понятия	Точка, прямая, плоскость, параллельность, скрещивающиеся прямые
Планируемый результат
Предметные умения	Универсальные учебные действия
Предметные: уметь формулировать определение параллельных прямых в пространстве, умение работать с геометрическим текстом	Познавательные: умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки. Регулятивные: умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей. Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, работать в паре. Личностные:умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф.); парная (П.); индивидуальная (И.)
Образовательные ресурсы	1. Геометрия. 10–11 классы / , , (М.: Просвещение, 2015).
I этап. Актуализация опорных знаний.
Цель: выяснить затруднения учащихся, проверить уровень сформированности знаний учащихся по изученной теме	(Ф/И). Тест на 7 минут с самопроверкой. Выбери верный ответ. 1.  Плоскость, притом только одна,  проходит  через: а) любые три точки;  б)  любые три точки лежащие на одной прямой;  в)  любые три точки не лежащие на одной прямой. 2.  Плоскость, притом только одна,  проходит  через: а)  две пересекающиеся прямые;  б)  одну прямую;  в)  две скрещивающиеся прямые. 3.  Если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая  а) пересекает плоскость;  б)  лежит в плоскости;  в)  параллельна плоскости. 4.  В кубе АВСDA1B1C1D1 ( рис.1) плоскости  D1B1B и B1A1D1    а)  не пересекаются ;    Д1  С1  б) пересекаются по прямой  А1В;   А1  В1  в) пересекаются по прямой  B1D1 .    Д  С   A  В 5.Точка М лежит вне плоскости  четырехугольника АВСД. Плоскости  МАВ и МВС  пересекаются по прямой    .  М  а)  МА;   А  В  б)  МВ;   в) МС;   г)  АВ.   Д  С 6. На рисунке 3 прямая МЕ и плоскость АВС  а)  не пересекаются;   б)  пересекаются в точке Е;   М  в) пересекаются в точке В;   Е  г)  пересекаются в точке К.   К   А  В   С 7.  На рисунке 3 прямая КЕ пересекает плоскость АВС в точке лежащей на прямой  а)  АВ;  б)  АС;  в)  ВС 8.  Сколько общих точек могут иметь две различные плоскости?   а) 2;  б) 3;  в) несколько;  г) бесконечно много или ни одной. 9. Точки А, В, С лежат на одной прямой, точка D не лежит на ней.  Через  каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось?   а) 2;  б) 3;  в) 1;  г) бесконечно много. 10.  Если три точки не лежат на одной прямой, то положение плоскости в  пространстве они:   а) не определяют в любом случае;   б) определяют, но при дополнительных условиях;   в) определяют в любом случае;   г) ничего сказать нельзя. 11.  Выберите верное утверждение. а) Если одна точка прямой лежит в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; б) через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна; в) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя;  г) любые две плоскости не имеют общих точек. 12.  Назовите общую прямую плоскостей AFD и DEF.   а) AD;  б) DE;  в) DF;  г) AF. 13.  Точки A, B,C не лежат на одной прямой. M AB; K AC; X MK. Выберите верное утверждение.   а) X AB; б) X AC; в) X ABC; г) точки Х и М совпадают. 14. Выбери все верные ответы. Основными  фигурами в стереометрии являются:  а)  куб;  б) точка;  в)  луч;  г)  треугольник;  д)  прямая;  е)  плоскость. 15.  На рисунке 3 плоскости  АМВ принадлежат точки    а)  М;  б)  А;  в)  К;  г)  Е.   Ответы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 в а б в б в в г в в б в в бде г
II этап. Учебно-познавательная деятельность.
Цель: ввести понятие параллельности прямых и плоскостей	(Ф/И) В тесте встречается понятие скрещивающихся прямых. Учитель им задает вопрос, касающийся этих прямых. Ребята рассуждают по этому поводу. Вспомнить материал из планиметрии о параллельности прямых (повторение) - Определение параллельных прямых; - Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости (либо пересекаются, либо параллельны); - Как через точку А, заданную вне данной прямой а, провести прямую, параллельную а? - Сколько таких параллельных (к а, через А) можно провести? Почему? (только одну, по аксиоме параллельных); - Аксиома параллельных (подчеркнуть, что через точку А вне прямой а можно провести единственную прямую, параллельную а). Изучение нового материала Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1а, б, в)   Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором - такие прямые называются скрещивающимися.   Даем определение. Сопровождаем показ параллельности, пересечения, скрещивания прямых хотя бы на модели куба, параллелепипеда, пирамиды (рисунки с обозначениями). Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Докажем теорему о параллельных прямых. Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна. Дано: А; А е а. Провести через А прямую b || а, доказать ее единственность (рис. 2). Доказательство: По условию даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По ранее доказанной теореме через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость б. Теперь в плоскости б через току А проведем прямую b|| а, а из планиметрии известно, что через точку А вне прямой а можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Теорема доказана Рис.2   В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых, аналогично определяются параллельность отрезка и прямой, параллельность двух лучей. Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, которой будем пользоваться в дальнейшем. Лемма: а || b; а; а ∩ б = А (рис. 3). Доказать, что b ∩ б. Доказательство: а || bопределяют плоскость в. Получили, что б и в имеют общую точку А, по аксиоме А3 б∩в = m. mв, m б = А, поэтому т b = В, b|| а, тб, поэтому В б,  следовательно, В b, b а. Докажем, что прямая bне имеет других общих точек с плоскостью б, кроме точки В. А это означало бы, что bб. Если бы прямая bимела еще хотя бы одну общую точку с плоскостью б, то она целиком бы лежала в плоскости б, а это значит, что она была бы общей прямой плоскости б и плоскости в, то есть b = т, но это невозможно, так как по условию  а || b, и а т. Значит, b a= В. Лемма доказана. Из планиметрии известно: если  две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Аналогичное утверждение имеет место и для 3-х прямых в пространстве. Теорема: Дано: а || с; b|| с(рис. 4). Доказать, что а || b, то есть 1) лежат в одной плоскости; 2) не пересекаются. Доказательство: 1) Возьмем на прямой bточку М и через а и М проведем плоскость б. Докажем, что bб Если допустить, что b ∩ б, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с ∩б, но а || с, значит, а∩ б, что невозможно, так как а б. Прямая a ∩ b, так как в противоположном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b), параллельные с, что невозможно. И значит, а || b и теорема доказана.
III этап. Закрепление изученного. Решение задач.
Цель: умение применить полученные знания при решении простейших задач	(П) Учитель предлагает в парах решить задачу № 17 из учебника, а затем проверить решение у доски, если необходимо прокомментировать.
IV этап. Итоги урока. Рефлексия
(Ф/И) - Что повторили  на уроке? - Оцените свою работу на уроке. - На каокм этапе урока у вас возникли наибольшие затруднения?	(И) Домашнее задание: п.4,5 на стр. 9-10, решить №16