C1 № 000. Решите уравнение

.   C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Найдем область определения уравнения: . Найдем корни числителя, используем формулу : С учетом области определения уравнения получаем: . Ответ: .

C1	C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Найдем ОДЗ: . Найдем корни числителя: Отметим корни на тригонометрической окружности: С учетом ОДЗ (см. рис.) получаем: Ответ: .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите систему уравнений Решение. Из второго уравнения получаем: или . Если , то из первого уравнения . Уравнение не имеет решений. Если то , и из первого уравнения получаем: . Ответ: .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Ответ: .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла: Поскольку , то . Поэтому . Ответ: .

Условие

C1 . Решите уравнение . Решение. Имеем: Ответ:

Тип

Условие

C1

C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности: Из уравнения получаем либо (что противоречит условию ). Решением уравнения соответствуют две точки единичной окружности, одна из которых лежит в первой четверти (и значит, для нее неравенство не выполняется), а другая — в четвертой четверти (для нее неравенство выполняется, и решение уравнения дается формулой ). Теперь осталось выписать решение простейшего тригонометрического уравнения , т. е. , и записать ответ. Ответ: ; .

Тип

Условие

C1

C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно системе: Решив уравнение системы как квадратное относительно , находим либо . Если , то и условие выполняется. Следовательно, . Если , то . В этом случае с учетом неравенства системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения , нужно оставить только ту, для которой . Это точка четвертой четверти, и решение уравнении имеет вид . Ответ: ; .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Решим уравнение : откуда . Из найденный решений условию (*) удовлетворяет только и . Ответ: , .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Решим уравнение : откуда . Из найденных решений условию (*) удовлетворяют только и . Ответ: .

Тип

Условие

C1

C1 № 000. Решите систему уравнений Решение. Из неравенства получаем . 1 случай. Пусть или . Если , то ; если , то . Из второго уравнения получаем , откуда или . 2 случай. Пусть теперь . Тогда , и поэтому из первого уравнения получаем: . Учтем, что . Тогда . Из всех решений уравнения этому условию удовлетворяет только . При этом и, из второго уравнения получаем: . Из всех решений этого уравнения интервалу принадлежит только . Значит, , . Ответ: .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Уравнение равносильно системе Из неравенства получаем, что . В уравнении сделаем замену и решим уравнение , или . Равенствам и на тригонометрической окружности соответствует четыре точки. Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию . Получаем решения: и . Ответ: , .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Уравнение равносильно системе Решим уравнение: . Тогда или . Последнее уравнение не имеет решений, а из первого, учитывая, что , получаем: . Ответ: .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Уравнение равносильно системе Уравнение системы приводится к виду , откуда или . Уравнение не имеет решений. Учитывая, что котангенс должен быть отрицательным, получаем: . Ответ: .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Уравнение равносильно системе Уравнение системы приводится к виду , откуда или . Уравнение не имеет решений. Учитывая, что , получаем: . Ответ: .

Условие

C1 . Решите уравнение . Решение. Если , то решений нет. Если , то . Если , то , откуда или . Уравнение не имеет решений. Учитывая, что , из уравнения получаем: . Ответ: ; .

Условие

C1 Решите уравнение . Решение. Левая часть уравнения имеет смысл при . Если , то , откуда . Если , то , откуда или . Уравнение не имеет решений. Учитывая, что , из уравнения получаем: . Ответ: , .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите уравнение . Решение. Левая часть уравнения имеет смысл при . Если , то . Если , то , откуда . Учитывая, что , из уравнения получаем: . Ответ: , .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Дано уравнение а) Решите уравнение; б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение. Используем формулу приведения и синуса двойного угла: Тогда или , откуда или б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке Находим: Ответ: а) б) . Примечание. Уравнение может быть так же решено при помощи следующей теоремы:

Тип

Условие

C1

C1 № 000. Решите уравнение . Укажите его корни, принадлежащие отрезку Решение. Сделаем замену , получим квадратное уравнение корнями которого являются числа и Уравнение не имеет решений, а из уравнения находим искомые корни: или ; . Найдем корни, принадлежащие отрезку Решим неравенства: или ; Соответствующие найденным значениям параметров корни: и . Ответ: . Заданному отрезку принадлежат корни и .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Решите уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку Решение. Сделаем замену и получим квадратное уравнение корнями которого являются числа и Уравнение не имеет решений, а из уравнения находим: или . Найдем корни, принадлежащие отрезку . , . Отрезку принадлежат только корни и . Ответ: . Отрезку принадлежат корни: и .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Дано уравнение а) Решите уравнение; б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) По формуле приведения и формуле косинуса двойного угла: Тогда или Откуда или б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке Это числа и (см. рис.). Ответ: а) б)

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение. а) Преобразуем уравнение: . Если , то из уравнения следует , что невозможно. Значит, на множестве корней уравнения . Разделим обе части уравнения на : . б) Составим двойное неравенство: , откуда . Следовательно, . Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень . Ответ: а) ; б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение. а) Преобразуем уравнение: . б) Найдем корни, лежащие на заданном отрезке. Составим двойное неравенство: , откуда . Следовательно, или , тогда искомые корни и . Ответ: а) ; б) и .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Дано уравнение . А) Решите уравнение. Б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Преобразуем уравнение: Получаем: или откуда или б) С помощью числовой окружности отберем корни на отрезке Ответ: а) б)

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение. а) Разложим левую часть на множители: Уравнение , не имеет корней. Имеем Если , то , это невозможно. Это однородное уравнение первой степени, разделим обе его части на . Получаем: б) Отрезку принадлежат корни и (см. рис.) Ответ: а) где , б) и

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение. а) Преобразуем уравнение и разложим левую часть на множители: Уравнение не имеет корней. Уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на . Получаем: б) Отрезку принадлежит только корень Ответ: а) , , б)

Условие

C1 . А) Решите уравнение Б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение. А) Преобразуем уравнение: Значит, или где В первом случае во втором случае где Первая серия решений входит во вторую. Б) Отметим решения на тригонометрической окружности. Отрезку принадлежат корни и Ответ: А) Б)

Тип	Условие
C1	C1 № 000. А) Решите уравнение Б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение. А) Преобразуем уравнение, получаем Значит, или где В первом случае во втором случае где Первая серия решений входит во вторую. Б) Отметим решения на тригонометрической окружности. Отрезку принадлежат корни и Ответ: А) Б)

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Дано уравнение А) Решите уравнение. Б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение. А) Преобразуем уравнение: Получаем: или Отсюда или Б) С помощью числовой окружности отберем корни на отрезке Это числа Ответ: A) Б)

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Дано уравнение . а) Решите данное уравнение. б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку . Решение. Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса: . Отсюда или . Если , то ; если , то . Из найденных решений промежутку принадлежат числа . Ответ: а) ; б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. Дано уравнение . а) Решите данное уравнение. б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку . Решение. . Отсюда или . Если , то . Если , то . Из найденных решений промежутку принадлежат числа и . Ответ: а) ; б) .

Условие

C1 а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. Решим уравнение: Отберём корни, принадлежащие отрезку . Это числа (см. рис.): . Ответ: A) . Б) ; ; .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. Решим уравнение: Отберём корни, принадлежащие отрезку . Это числа (см. рис.): . Ответ: A) . Б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде: Значит, или , откуда , , или , откуда , . б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку . Находим числа Ответ: а) , ; , ; б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде Значит, или , откуда , или , , откуда , б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа: Ответ: а) , б)

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде: Значит, или , откуда , , или , откуда , . б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа: Ответ: а) , ; , ; б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде Значит, , откуда или . б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку . Получим числа: ; ; . Ответ: а), ; б); ; .

Условие

C1 а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде Значит, или , откуда , или , , откуда или , б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа: Ответ: а) , б) Примечание. Внимательный читатель, конечно, узнал формулу синуса тройного угла:

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде . Значит, или , откуда , , или , откуда . б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку . Получим числа: Ответ: а) , ; ; б)

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде Значит, или , откуда , , или , откуда или , . б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку . Получим числа: , и . Ответ: а) , ; , , ; б) , и

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде Значит, или — уравнение не имеет корней, или , откуда , . б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку . Получим число . Ответ: а) , ; б) .

Условие

C1 а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) Из данного уравнения получаем: . Значит, или , откуда , или , откуда или б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку . Получим числа: . Ответ: а) , ; , ; б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде Значит, , откуда . б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку . Получим числа: ; ; . Ответ: а); б); ; .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде Значит, или — уравнение не имеет корней, или , откуда или , . б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку . Получим число . Ответ: а) , , ; б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) Из данного уравнения получаем: . Значит, или , откуда , или , откуда б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку , получим числа . Ответ: а) , ; , ; б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде Значит, или , откуда , , или , откуда , . б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку . Получим числа: , и . Ответ: а) , ; , ; б) , и

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. a) Запишем уравнение в виде: . Значит . б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку . Находим числа: . Ответ: а) . б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) Запишем уравнение в виде: В результате получим: Значит . б) Отметим решения на тригонометрической окружности. Отрезку принадлежат корни , и Ответ: А) Б) , и

Условие

C1 а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение. а) Решим уравнение б) Найдем корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойное неравенство: Тогда искомый корень . Примечание. Отобрать корни можно, используя тригонометрическую окружность (см. рис.). Ответ: а) ; б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение. а) Решим уравнение: б) Отбор корней. Составим двойное неравенство: Тогда искомый корень . Ответ: а) ; б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение. а) Так как , имеем: , . Корни уравнения: б) Корни уравнения изображаются точками и , а корни уравнения — точками и , промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: и . Ответ:а) б)

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение. а) Запишем уравнение в виде Решив последнее уравнение как квадратное относительно получим или Значит, откуда или что невозможно. б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку : это Ответ: а) ; б) .

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение. а) Преобразуем уравнение: Значит, либо откуда либо откуда б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку: Ответ: а) б)

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение. а) Заметим, что Поэтому уравнение можно переписать в виде откуда Значит, либо откуда либо откуда б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку Ответ: а) б)

Тип	Условие
C1	C1 № 000. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение. а) Заметим, что Поэтому уравнение можно переписать в виде откуда Значит, либо откуда либо откуда б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку Ответ: а) б)